数学专业毕业论文——狄利克雷函数的性质及应用

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1、狄利克雷（Dirichlet）函数性质及应用作者黄玉峰指导教师马永传摘　要：狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数有着许多特殊的性质，它在数学分析、实变函数与泛函分析、复合函数等诸多领域均有十分广泛的应用，在数学发展过程中起过重要的作用。本文将在性质与应用两个方面对狄利克雷函数进行讨论。关键词：狄利克雷函数；性质；应用；反例函数概念最早出现在世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(年)中。他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的。世纪德国著名数学家莱布尼茨年在一篇手稿里使用了“函数”这一概念。后来

2、,莱布尼茨又引进“常量”、“变量”和“参变量”的概念。在数学史上,这是一大进步,它使得人们可以从数量上描述运动了。当时的函数指的是可以用解析式表示的函数,但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了。历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷（）。这也促成了微积分的严格性的开始。事实上,如果严格性没有进入定义,那就无法在推理中体现严格性。当时,数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象。狄利克雷在年给出了下面的著名函数（后人称为狄利克雷函数）:这个函数具有三个特点:(1)没有解析式:使函数概念

3、从解析式中解放了出来。(2)没有图形:使函数概念从几何直观中解放了出来。(3)没有实际背景:使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。狄利克雷函数的出现,表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现出来。这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”。1狄利克雷函数及其性质　　狄利克雷([德])函数在数学分析、第11页实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。1.1狄利克雷函数的相应定义（1）对任意令，则称为定义在实数上的狄利克雷函数．（2）对任意令，则称为定义在实数上的狄利克雷拓展函数．（3）一般地，广义的狄利

4、克雷函数可定义为：其中为实数,．1.2狄利克雷函数与狄利克雷拓展函数的性质1．周期性定理1.1任意的非零有理数都是及的周期；但是任何的无理数都不是的周期．证由对任意有理数，有故任意的有理数都是及的周期．对任意的无理数，有第11页故任何的无理数都不是和．2.有界性定理1.2都是有界函数．证由故知且，所以都是有界函数．3.奇偶性定理1.3都是偶函数．证由且知负号不改变数的有理性及无理性，所以可得所以且，故及都是偶函数．4.单调性定理1.4及在实数集的任何区间上都不具有单调性．证对,在区间上由实数的稠密性知，在区间上存在无数个有理数及无数个无理数．不妨设，、为无理数，为

5、有理数，.则第11页，；，；故可知在实数集的任何区间上都不具有单调性．5.连续性定理1.5对于及都不存在．证对任意小的由实数的稠密性知在内存在一组递增的有理数组　　存在一组递增的无理数组　且　．又易得可知及不存在，故和不存在.定理1.6及在上处处不连续．证：由定理1.5知对于及都不存在．故知，又由在上处处不连续．6.可积性定理1.7及在任何区间上非可积．证由对于的一个分割,任取点,,并作和式：由实数的稠密性知，当取为有理数时，，则；而取第11页为无理数时，；故在任何区间上非可积．由对于的一个分割,任取点,,并作和式：当分别取有理数和无理数时，的值互为相反数且都不为

6、零．故在任何区间上非可积．综上可知,及在任何区间上非可积．2狄利克雷函数的应用数学中的反例，是用以否定错误命题而举的例子。反例的作用大致可分为三类：（1）说明定理的条件及结论的不可更改性；（2）否定似是而非命题；（3）纠正直观上可能产生的错觉的命题。利用狄利克雷函数的独特性质可以构造许多数学反例，它们在数学分析教学中发挥着重要的作用。2.1　利用狄利克雷函数构造反例说明数学命题成立命题2.1.1存在函数,在某一点连续而在其他点都不连续．证设．因为在连续（）,而在时不连续．命题2.1.2存在函数,在任意点不连续,但在任意点都连续．证设由定理1.5知不存在极限，故知在

7、任一点都不连续,而在任意点都连续．命题2.1.3存在函数，仅在一点可导且连续．第11页证设则.即仅在一点处可导且连续.命题2.1.4存在函数，在定义域上有界且不可积．证令　显然在上有界．对于的一个分割,任取点,,并作和式：由实数的稠密性知对于分割，内既存在有理数又存在无理数．当取为有理数时有，则；当取为无理数时有，则；从而不存在，故在上不可积．即在上有界且不可积.命题2.1.5存在上不恒为零的函数,使且对任意的都成立．证令则有；且知在上不恒为零．第11页又从而，不论取何值，肯定总有．命题2.1.6某个不连续函数列可以一致收敛于某个连续函数．证令其中为狄利克雷函数（

8、一般意义上