狄利克雷函数的应用研究

《狄利克雷函数的应用研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、狄利克雷两数的应用研究3林艺1，李军2(1.青岛大学，山东青岛266071;2.青岛职业技术学院，山东青岛266555)摘要:狄利克雷函数作为分析学屮的一种构造性函数，有着一些特殊的性质,因此在数学发展过程中起过重要的作用，帮助澄清过许多模糊概念，并可构造出一些反例来判断一些命题或陈述的真伪。关键词:狄利克雷函数;连续性;有界变差函数;勒贝格积分中图分类号:1207.3文献标识码:A文章编号:167222698(2005)0120057202一、关于狄利克雷函数数学中的反例，是用以否定错误命题而举的例子,在数学逻辑思维开拓及数学的进步发展方面有不可忽视的影响。反例

2、大致可分为三类:(1)用来否定似是而非命题的；(2)用来纠正直观上可能产生错觉的;(3)用来说明命题或定理的条件及结论的不可更改性的。狄利克M(P.G.L.Dirichlet[徳])函数在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域屮起着十分重要的作用。本文将对狄利克雷函数进行研究，较为全而地给出一些例题剖析，使读者看到狄利克雷两数作为反例在实际中的具体应用。(-)定义[1](P16)对任意xWR,令D(x)=1,当x为有理数0,当x为无理数则称D(x)为定义在实数上的狄利克雷函数。对任意xWR,令E(x)=1,当x为有理数・1,当X为无理数则称E(x)为定义在实数上的

3、狄利克雷拓展函数。(二)狄利克雷函数与狄利克雷拓展函数的一些性质由定义容易知道以下事实：1・任意的有理数r都是D(x)及E(x)的周期;但是任何的无理数都不是D(x)或玖x)的周期。2.D(x)及玖x)在实数集的任何区间上都不具有单调性。3.D(x)及E(x)都是有界函数。2.D(x)及E(x)都是偶函数。3.对于11x0eRJimXTX0D(x)及limx—>x0玖x)都不存在。4.D(x)及E(x)在R上处处不连续。5.D(x)及E(x)在任何区间［a,b］(a应用举例(-)用來否定似是而非的命题1.f与g都不连续［1］(P70)，贝f4-g与f?g也不连续。

4、否。例:令f(x)=E(x),g(x)=-E(x)c易知f、g都是实数上处处不连续的函数，但f+g三O,f?g=-1均为常函数，自然都是连续函数。2.f非有界变差函数⑶(P147),则IfI和f2也非有界变差函数。否。例:在［0,1］上令f(x)=E(x),则f为非有界变差濒数。事实上，设［0,1］上的分划T:0=x00,取［0,1］的分划D,满足D二{El,E2},E1为有理数集,E2为无理数集，则S(E1,f)・s(El,f)=1-1=0=E1o)imEi

5、),因为f(x)-f(O)=xD(x)->O(x->0),所以f(x)在x=0处连续。但当x列时，因为D(x)不连续，所以f(x)不连续。3•“函数项级数⑵(P78)的收敛域必为一区间"的反例。例：设Un(x)=D(x),贝Lis00n=1Un(x)的收敛区域为集合｛xlx为无理点｝o事实上，ki=lUn(x)=k,x为有理点0,x为无理点。当x为无理点时limkTOOIki=1Un(x)=0;当x为有理点时limk—>oozki=1Un(x)=+ooo所以I00n=1Un(x)的收敛区域为集合｛xIx为无理点｝o(三)用來说明命题或定理的条件与结论的不可更改性1

6、.“逐项求导的Fubini定理［3］(pl45)"中函数列中诸函数的单调性条件不能少。例：设［0,1］中全体有理数为｛rl,r2,...rn,...对每个n,在［0,1］上定义fn(x)=1,x=rn0,x#rn虽然,对每一n,函数fn除x=rn点外恒等于零，但不是单调函数。另一方面，易知X00n=1fn(x)=D(x),由于D(x)在［0,1］上处处不连续，则处处不可导，更谈不上逐项求导了。1.“Levi单调收敛定理［3］(pl08)”对R积分不成立。例：设［0,1］中全体有理数为｛rl,r2,...rn,...｝,令fn(x)=znk=lq)rk(x),其中(

7、prk(x)=1,x=rk0,x#k,n=1,2,…则｛fn｝是［0,1］上非负递增的R可积函数列。因为Z00n=1fn(x)=D(x),IfljD(x)在［0,1］上是R不可积的。故Levi单调收敛定理对于R积分不成立。参考文献：r1］邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程(上册)［M］.北京:高等教育出版社,1999.［2冈东皋，尹小玲.数学分析简明教程(下册)［MJ・北京:高等教育出版社,1999.［3］匡继昌.实分析与泛函分析［M］.北京:高等教育出版社,2001.［4］程其襄，等.实变函数与泛苗分析基础［M］.北京：高等教育出版社,1983.[5]林艺.数学小

8、百科[M]