皮克公式的证明上课课件.ppt

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1、皮克公式的证明例题：如下图所示四边形，请求出它的面积解：法一S=1/2×(4×3+3×2+3×1+2×4)+1=31/2法二：记a为四边形内所含的网格点数，b为边界上的网格点数，则a=14，b=5S=a+b/2－1=31/2皮克公式：如果一个多边形的顶点全是网格的交叉点（格点），即此多边形为网格多边形，记多边形内部的格点数为a，边界上的格点数为b,则面积s=a+b/2-1想一想：皮克公式该如何证明呢？首先探索矩形中的情况如下图：ＭＮＥＦAＢＣＯＤＧＬＰ矩形边长M边长NSabOABC22418DEFG339412LMNP3412614观察得：１＝１×

2、１＝（２－１）×（２－１）４＝２×２＝（３－１）×（３－１）６＝２×３＝（３－１）×（４－１）即：ａ＝（Ｍ－１）×（Ｎ－１）又有：８＝２×４＝２×（２＋２）１２＝２×６＝２×（３＋３）１４＝２×７＝２×（３＋４）即：　ｂ＝２×（Ｍ＋Ｎ）综上可得：ａ＝Ｍ×Ｎ－（Ｍ＋Ｎ）＋１ｂ＝２×（Ｍ＋Ｎ）ｓ＝Ｍ×Ｎ则　　　ｓ＝ａ＋ｂ／２－１故皮克公式对于矩形成立由皮克公式在矩形中成立，下证在直角三角形中皮克公式也成立如下图：DCAB对于直角三角形ABC,可以构造出矩形ABCD,记边AC上有格点数L,边AB长为M,BC长为N.因为矩形内格点数a=(M-1)*（N-1

3、),则三角形ABC内有格点数a1=((M-1)*(N-1)-L)/2边界上的格点数为:b1=M+N+1+L三角形ABC的面积s1=M*N/2故s1=a1+b1/2-1因此皮克公式成立在上图中，L=0,带入公式显然成立。下证对于一般三角形皮克公式成立：对于普通三角形AEF,过其三个顶点作矩形ABCD,如下图所示：EDCFAB记矩形的边长为M,N,设：三角形面积内部格点数边上格点数AEFSabADEs1a1b1CEFs2a2b2ABFs3a3b3于是有：S+S1+S2+S3=M*N(*)a+a1+a2+a3+b-3=(M-1)*(N-1)(**)b+b

4、1+b2+b3-2*b=2*(M+N)(***)则（*）-（**）-（***）/2得：(s-a-b/2)+[s1-a1-b1/2]+[s2-a2-b2]+[s3-a3-b3]+3=-1又因为三角形ADE,CEF,ABF为直角三角形，所以“[]”中的式子的值都等于-1因此有s=a+b/2-1,即一般三角形中皮克公式也成立最后证明对于一般形式的具有n个格点的多边形，皮克公式成立由于任一个n个格点的多边形都可以分割成许多个格点三角形，且每个格点三角形都满足皮克公式。综上所述，皮克公式对于任意边格点多边形都成立。练习题运用皮克公式解下列格点形的面积解：六边

5、形的内格点数a=4,边界上的格点数b=8面积s=a+b/2-1=4+8/2-1=7答：六边形的面积为7。回顾总结：在本节课探索皮克公式的过程中，从矩形直角三角形一般三角形n边格点形，最终我们证出了皮克公式，这就是一个从特殊到一般的过程。我们还补充了数学归纳法这一证明问题的重要方法。希望大家在会运用皮克公式的同时，要学会分析问题，证明问题的上述两种思想方法。谢谢