欧拉公式的证明ppt课件.ppt

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1、欧拉公式的发现与证明一、教材分析1．教材的地位与作用欧拉公式是在学习了多面体（棱柱、棱锥、棱台）之后，作为研究性学习的课题而安排的，通过学习不仅可进一步探讨多面体的一般性质，还可让学生获得亲身参与研究探索的体验，激发学生的学习热情，拓展学生的视野。2．教学目标知识目标：能力目标：1）理解欧拉公式的表达式及欧拉公式的证明；2）会用欧拉公式解决某些数学问题。1）通过探究欧拉公式的发现过程，培养学生观察与实践、联想与类比、抽象与概括的能力。2）通过欧拉公式的证明与应用，培养学生的逻辑推理能力和探究创新能力。通过研究欧拉公式的发现与证明，激发学生对科学

2、的探究，培养学生良好的意志品格，激励学生大胆猜想，善于发现，勇于创新的精神。情感目标：3.教学重点与难点重点：探究欧拉公式的发现过程。难点：欧拉公式的证明。二、教法分析从“七桥问题”入手，引导学生观察图形，一步一步地进行归纳和猜想，得出平面网络的定义及平面网络中点、线、面之间的数量关系：V+F-E=1，再联想类比，引申到空间中的多面体，研究多面体中点、线、面之间的数量关系，发现欧拉公式V+F-E=2三、过程分析（一）引入课题1.介绍欧拉2.七桥问题(二)探讨研究1．网络的定义2.观察平面网络图形，猜想V、E、F之间的规律3.证明猜想:V+F-E

3、=14.联想：多面体中的V、F和E之间关系5.证明凸多面体中V+F-E=2欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年）出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．欧拉还创设了许多数学符号，例如π，i，e，s

4、in和cos，tg，Σ，f(x)等等。由于过度工作，1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛。766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究，凭着记忆和心算解决了许多数学上的难题，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章。欧拉的一生是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。2.七桥问题十八世纪，北欧的哥尼斯堡城建在普雷格尔河畔，河中有两个小岛，全城由七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图)。当时，那里的居民都热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎么才能一

5、次走遍七座桥，每座桥只经过一次，最后又回到出发点?这个问题的实质是陆地之间的连接，而与陆地的形状大小无关，因此他用点A、D表示两个小岛，点B、C表示河的左右两岸。再用连接两点的线表示桥，从而得到一个由4个点和、7条线组成的图形(如图)利用这个图形，问题就变成能否一笔画出这个图形，并且最后返回起点的“一笔画”问题。善于思索和研究问题的欧拉，简单而巧妙地解决了千百人为其绞尽脑汁而百思不得其解的难题，引起了人们的惊叹和赞赏。但欧拉并没有满足于七桥问题的解诀，而是以此为基础，研究了超出通常欧几里德几何范围的几何问题，从而奠定了称之为“网络论”的几何学科

6、的基础。1．网络的定义：网络是由有限条线段组成的图形，每一条线段都有两个不同的端点。这些线段叫做网络的弧，它们的端点叫做网络的顶点。在一个网络中，线段的长短曲直无关紧要，要紧的只是有几个点，两点间又有几条线段连接。(二)探讨研究网络的弧必须有两个不同的端点，不能没有端点。观察下列平面上的网络图形，填写下表，猜想V、E、F之间的规律。其中V表示网络的顶点数，E表示网络的弧（通常把它称为边数）F表示面数（也就是由边围成的区域的个数）。顶点数V边数E面数F图（1）图（2）图（3）图（4）V顶点数E边数F面数V-E+F图（1）2211图（2）6501图

7、（3）4741图（4）6941(1)(2)(3)(4)证明猜想：V+F-E=1网络中去掉一条外边（假如有这样一条外边），这时E减少了1，F也减少了1，而V保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F保持不变。如果网络中有一个“尾”顶点，就将这个点连同通向它的边同时去掉，则V减少1，E减少1，而F保持不变，因此经过这样的步骤后，V-E+F也保持不变。现在假定你从一个已知网络出发，继续不断的去掉一切可能挪去的外边和“尾”点，最后你将得到一张只有一个顶点的网络，这时,V=1，E=0,F=0，V-E+F=1成立联想：多面体中的顶点数V、面数F和棱数E，之

8、间是否也有上述关系？观察图形，填出下表．V顶点数E棱数F面数图（1）图（2）图（3）图（4）（1）（2）（3）（4）假想一凸多面体用橡胶薄膜做成，内部