高考数学 专题二 第3讲 平面向量（3）复习教学案 .doc

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1、教学内容：平面向量（3）教学目标：1平面向量的概念及线性运算2.平面向量的数量积3.平面向量与三角函数综合应用教学重点：平面向量的数量积和平面向量与三角函数综合应用教学难点：平面向量与三角函数综合应用教学过程：一、例题精析例1、（1）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x、y∈R，则x＋y的最大值是________．（2）已知△ABC中，点G满足＋＋＝0，·＝0，则＋的最小值为________．解析：（1）设∠AOC＝α(0≤α≤)，则∠COB＝90°－α，∴＝cosα·＋sinα·，即∴x＋y＝cosα＋sinα＝si

2、n≤.答案：解析（2）：由＋＋＝0，知点G是重心，设BC中点为D，AC中点为E，设GE＝n，GD＝m，则BG＝2n，AG＝2m.所以tanB＝，tanA＝，＋＝≥＝.答案：变式训练：(2014·徐州信息卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(tanA＋tanC，)，n＝(tanAtanC－1,1)且m∥n.(1)求角B；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．解：(1)因为m∥n，所以tanA＋tanC＝(tanAtanC－1)，所以＝－，即tan(A＋C)＝－，所以tanB＝－tan(A＋C)＝，复备栏又B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理

3、有，cosB＝＝，所以a2＋c2＝ac＋4，由基本不等式，a2＋c2≥2ac，可得ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，取等号，所以△ABC的面积S＝acsinB≤×4＝，故△ABC的面积的最大值为.例2、(2014·广州调研)如图，在四边形ABCD中，＝λ(λ∈R)，

4、

5、＝

6、

7、＝2，

8、－

9、＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形.求：(1)λ的值；(2)·的值．解：(1)因为＝λ，所以BC∥AD，且

10、

11、＝λ

12、

13、，因为

14、

15、＝

16、

17、＝2，所以

18、

19、＝2λ.又

20、－

21、＝2，所以

22、

23、＝2.作AH⊥BD于H(图略)，则H为BD的中点．在Rt△AHB中，得cos∠ABH＝＝，于是∠ABH＝30°所以∠ADB＝

24、∠DBC＝30°.而∠BDC＝90°，所以BD＝BCcos30°，即2＝2λ·，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC＝60°，

25、

26、＝4，所以与的夹角为120°.故·＝

27、

28、·

29、

30、cos120°＝－4变式训练：已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，求：(1)a·b和

31、a＋b

32、的值；(2)a与b夹角θ的余弦值．解：由已知，a＝(3，－2)，b＝(4,1)，(1)a·b＝10，

33、a＋b

34、＝5.(2)

35、a

36、＝，

37、b

38、＝，∴cosθ＝＝.变式训练：设a＝(1＋cosα，sinα)，b＝(1－cosβ，sinβ)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π

39、，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝，求sin的值．[解]　∵

40、a

41、＝＝2cos，

42、b

43、＝＝2sin，

44、c

45、＝1，又a·c＝1＋cosα＝2cos2，b·c＝1－cosβ＝2sin2.∴cosθ1＝＝cos，cosθ2＝＝sin，∵∈(0，)，∴θ1＝.又β∈(π，2π)，∴∈(，π)，即0＜－＜.由cosθ2＝sin＝cos(－)，得θ2＝－.由θ1－θ2＝，得－(－)＝，∴＝－，＝－，∴sin＝sin(－)＝－.变式训练已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且x∈[0，]，(1)求a·b及

46、a＋b

47、；(2)若f(x)＝a·b－2λ

48、a＋b

49、

50、的最小值是－，求λ的值．[解]　(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x；

51、a＋b

52、＝＝＝2，∵x∈[0，]，∴cosx≥0，∴

53、a＋b

54、＝2cosx.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2，∵x∈[0，],∴0≤cosx≤1，①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－，解得λ＝.③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞

55、1相矛盾；综上所述，λ＝即为所求．巩固练习：完成专题强化训练的练习。课后反思：