高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列（2）学案 新人教A版必修.doc

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1、2.4等比数列（2）学习目标　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．知识点一　等比数列通项公式的推广思考1　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？答案　在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N*)．思考2　我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？答案　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.则an＝a1

2、qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．梳理　公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝·qn.{an}的单调性由a1，q共同确定如下：当或时，{an}是递增数列；当或时，{an}是递减数列；q＜0时，{an}是摆动数列，q＝1时，{an}是常数列．知识点二　由等比数列衍生的等比数列思考　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3){}是等比数列；(4){a2

3、n}是等比数列．答案　由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．梳理　(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么，…是等比数列．(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{

4、an

5、}仍是等比数列．知识点三　等比数列的性质思考　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N*)是否成立？答案　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，∴a＝a1a9成立．同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成

6、立．梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*)．类型一　等比数列的判断方法例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N*，证明：{an－1}是等比数列．证明　当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，∴6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)，∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列．反思与感悟　判断一个数列是等比数列的基本方法：(1)定义法：＝q(

7、常数)；(2)等比中项法：a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)；要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a≠a1a3.跟踪训练1　若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0，bn＝lgan，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．解　数列{bn}是等差数列．证明如下：∵bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝lg＝lgq(常数)，∴{bn}是公差为lgq的等差数列．类型二　等比数列的性质命题角度1　序号的数字特征例2　已知{an}为等比数列．(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log

8、3a2＋…＋log3a10的值．解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思与感悟　抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2　在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________

9、.答案　128解析　∵a3a5＝a＝4，an>0，∴a4＝2.∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝43×2＝128.命题角度2　未知量的设法技巧例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解　方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件得解得或所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求的