高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（一）学案 新人教B版必修.doc

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1、1.1.1　正弦定理(一)[学习目标]　1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C为直角，则sinA＝.(2)在△ABC中，若a＞b，则A＞B.(3)在△ABC中，C＝π－A－B.(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等．(5)在△ABC中，若sinB＝，则B＝.答案　(1)(2)(3)解析　根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；A

2、AS可以证明三角形全等，SSA不能证明，(4)不正确；若sinB＝，则B＝或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确．[预习导引]1．在Rt△ABC中的有关定理在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝90°，0°

3、△ABC中，证明：＝＝.证明　如图，在锐角△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，有＝sinA，＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB．∴＝.同理，＝.∴＝＝成立．规律方法　从正弦定理可以推出它的常用变形有：(1)＝，＝，＝.(2)＝，＝，＝.(3)asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.跟踪演练1　在钝角△ABC中，如何证明＝＝仍然成立？证明　如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则＝sinA，即CD＝bsinA；＝sin(180°－B)＝sinB，即CD＝asinB.因此b

4、sinA＝asinB，即＝.同理可证，＝.因此＝＝.要点二　已知两角及一边解三角形例2　已知△ABC，根据下列条件，解三角形：(1)a＝20，A＝30°，C＝45°；(2)a＝8，B＝60°，C＝75°.解　(1)∵A＝30°，C＝45°；∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得b＝＝＝40sin(45°＋60°)＝10(＋)；c＝＝＝20，∴B＝105°，b＝10(＋)，c＝20.(2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理＝，得b＝＝＝4，由正弦定理＝，得c＝＝＝＝4(＋1)．∴A＝45°，b＝4，c＝4(＋1)．规律

5、方法　已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.解　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝，得c＝a·＝5·＝5·＝5·＝(＋)．要点三　已知两边及一边的对角解三角形例3　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a＝1，b＝

6、，A＝30°；(2)a＝，b＝1，B＝120°.解　(1)根据正弦定理，sinB＝＝＝.∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c＝＝＝2；当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1.(2)根据正弦定理，sinA＝＝＝>1.因为sinA≤1.所以A不存在，即无解．规律方法　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角

7、，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3　已知△ABC，根据下列条件，解三角形：(1)a＝2，c＝，C＝；(2)a＝2，c＝，A＝.解　(1)∵＝，∴sinA＝＝.∵c>a，∴C>A.∴A＝.∴B＝，b＝＝＝＋1.(2)∵＝，∴sinC＝＝.又∵asinB，则角A与角B的大小关系为(　　)A．A>BB．A