高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（二）学案 新人教B版必修.doc

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1、1.1.1　正弦定理(二)[学习目标]　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是．(1)在△ABC中，若＝＝，则A＝90°.(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝b.(3)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；反之，若A>B，则sinA>sinB.(4)在△ABC中，＝.答案　(2)解析　对于(1)，由正弦定理可知，sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，故A＝90°，

2、故(1)正确．对于(2)，由sin2A＝sin2B可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故(2)错误．对于(3)，在△ABC中，sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故(3)正确．对于(4)，因为＝＝，所以＝，故(4)正确．[预习导引]1．正弦定理的常见变形(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.(2)＝＝＝＝2R.(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝.2．三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(3

3、)sin2α＝2sinαcosα.要点一　利用正弦定理判断三角形的形状例1　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解　方法一　在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴()2＝()2＋()2，即a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°.由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝.∵B是锐角，∴sinB＝，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．方法二　在△ABC中，根据正弦

4、定理，得sinA＝，sinB＝，sinC＝(R为△ABC外接圆的半径)．∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且A＝90°.∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC.∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.∴△ABC是等腰直角三角形．规律方法　依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件

5、转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪演练1　在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．解　在△ABC中，由正弦定理得＝，∴＝，∴＝.又∵a2tanB＝b2tanA，∴＝，∴＝，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．要点二　利用正弦定理求最值或范围例2　在锐角△ABC中，角A

6、，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围．解　设R为△ABC外接圆的半径．∵a＝2bsinA，∴2RsinA＝4RsinBsinA，∴sinB＝.∵B为锐角，∴B＝.令y＝cosA＋sinC＝cosA＋sin[π－(B＋A)]＝cosA＋sin(＋A)＝cosA＋sincosA＋cossinA＝cosA＋sinA＝sin(A＋)．由锐角△ABC知，－B

7、利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪演练2　在△ABC中，若C＝2B，求的取值范围．解　因为A＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B>0，所以0