高中数学 1.1.1 正弦定理（二）学案 新人教b版必修5

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1、1.1.1　正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝________；(2)＝＝＝＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sinA＝________，sinB＝________，sinC＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在

2、△ABC中，(1)若A>B，求证：sinA>sinB；(2)若sinA>sinB，求证：A>B.对点讲练知识点一　三角形面积公式的运用例1　已知△ABC的面积为1，tanB＝，tanC＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．总结　注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．借助该公式顺利解出外接圆半径R.变式训练1　已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)A．1B．2C.D．4知识点二　利用正弦定理证明恒等式例2　在△ABC中，求证：＝.总结　正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间

3、的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2　在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.知识点三　利用正弦定理判断三角形形状例3　已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．变式训练3　已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在

4、△ABC中，有以下结论：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(3)＋＝；(4)sin＝cos，cos＝sin，tan＝.课时作业一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于(　　)A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶∶22．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．在△ABC中，(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(　　)A．4∶5∶6B．6∶

5、5∶4C．7∶5∶3D．7∶5∶64．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　)A．45°B．60°C．75°D．90°二、填空题6．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.7．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.8．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.三、解答题9．

6、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．10．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.1．1.1　正弦定理(二)知识梳理1．(1)a∶b∶c　(2)2R　(3)2RsinA　2RsinB　2RsinC(4)　　2.absinC　bcsinA　casinB3.　自主探究证明　(1)在△ABC中，由大角对大边定理A>B⇒a>b⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB.(2)在△ABC中，由正弦定理sinA>sinB⇒>⇒a>b⇒A>B.对点讲练例

7、1　解　∵tanB＝>0，∴B为锐角．∴sinB＝，cosB＝.∵tanC＝－2，∴C为钝角．∴sinC＝，cosC＝－.∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.∵S△ABC＝absinC＝2R2sinAsinBsinC＝2R2×××＝1.∴R2＝，R＝.∴πR2＝π，即外接圆面积为π.∴a＝2RsinA＝，b＝2RsinB＝，c＝2RsinC＝.变式训练1　A　[设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，∴R＝1，由S△＝absinC＝＝＝，∴abc＝1.]例2　证明