2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理一学案新人教b版必修5

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1、1．1.1　正弦定理(一)学习目标　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一　正弦定理的推导思考1　如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？思考2　在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？梳理　在任意△ABC中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二　正弦定理的呈现形式1.＝____________＝__________＝2R(其中R是____________)；2．a＝＝＝2RsinA；3．sinA＝，sinB＝_____

2、___，sinC＝________.知识点三　解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．类型一　定理证明例1　在钝角△ABC中，证明正弦定理．反思与感悟　(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1　如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，

3、角A、B、C所对的边分别为a，b，c.求证：＝2R.　　　类型二　用正弦定理解三角形例2　已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝45°.　　反思与感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．　　类型三　边角互化命题角度1　化简证明问题例3　在任意△ABC中，求证：a(sinB－

4、sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.　　命题角度2　运算求解问题例4　在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC的周长的最大值．　　　反思与感悟　利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3　在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值．　　　1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　)A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA

5、2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3．在△ABC中，已知BC＝，sinC＝2sinA，则AB＝________.4．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝________.1.定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)．2.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学知识点一思考1　＝＝＝c.思考2　在一般的△ABC中

6、，＝＝仍然成立，课本采用边AB上的高CD＝bsinA＝asinB来证明．知识点二1.　　△ABC外接圆的半径3.　知识点三元素　解三角形题型探究类型一例1　证明　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴＝.同理，＝.故＝＝.跟踪训练1　证明　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，即＝2R.类型二例2　解　∵A

7、＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得b＝＝＝40sin(45°＋60°)＝10(＋)，c＝＝＝20，∴B＝105°，b＝10(＋)，c＝20.跟踪训练2　解　根据三角形内角和定理，A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b＝＝＝9.类型三命题角度1例3　证明　由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右边，所以等式成立．命

8、题角度2例4　解　设AB＝c，BC＝a，CA＝b.由正弦定理，得＝＝＝＝2.∴b＝2sinB，