2010年高三数学试题汇编 第十三章 导数 第二节 导数的应用.doc

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1、第十三章导数二导数的应用【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．【考试要求】（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考题分类】（一）选择题（共2题）1.（江西卷理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面部分的图形面积为()，则导函数的图像大致为A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数

2、图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。2.（山东卷文8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（A）13万件(B)11万件(C)9万件(D)7万件【答案】C【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函

3、数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题。（二）解答题（共35题）-40-用心爱心专心1.（安徽卷理17）设为实数，函数。(Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，。2.（安徽卷文20）设函数，求函数的单调区间与极值。【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】（1）对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过

4、列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.-40-用心爱心专心【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.3.（北京卷理18）已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。解：（I）当时，由于所以曲线处的切线方程为。即（II）当时，因此在区间上，；在区间上，；所以的单调递增区间为，单

5、调递减区间为；当时，，得;因此，在区间和上，；在区间上，；即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，.的递增区间为-40-用心爱心专心当时，由，得；因此，在区间和上，，在区间上，；即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。4.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。-40-用心爱心专心5.（福建卷理20）（Ⅰ）已知函数，其图象记为曲线。（ⅰ）求函数的单调区间；（ⅱ）证明：若对于任意非零实数，曲线与其

6、在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】（Ⅰ）（i）由得=，-40-用心爱心专心当和时，；当时，，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。（ii）曲线C与其在点处的切线

7、方程为得，即，解得，进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和，又，所以因此有。（Ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得，故。-40-用心爱心专心6.（福建卷文22）已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）设是上的增函数.（ⅰ）求实

8、数m的最大值；（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.-40-用心爱心专心7.（广东卷文21）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标-40-用心爱心专心；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：-40-用心爱心专心8.（湖北卷