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时间：2020-06-27
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1、第五节高阶常系数线性微分方程一.二阶常系数线性奇次方程一般形式:p,q为常数第五节高阶常系数线性微分方程分析由方程特点可看出:为同一类型函数,之间相差常数因子.因此假设将代入(1)得:当满足(2)时,是(1)的一个特解.特征方程特征根根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形.1.特征根为相异实根:是(1)的两个线性无关的特解,则(1)的通解为2.特征根为二重根:是(1)的一个特解,求另一个线性无关的特解.设代入方程(1):取得到另一个线性无关的特解则(1)的通解为线性无关特解3.特征根为共轭复根:是(1)的两个特解,则(1)的通解为例:则通解为例:则通解为则特解为例:则通解为注:
2、上述解法可推广到n阶常系数线性奇次方程:特征方程例:则通解为二.二阶常系数线性非奇次方程一般形式:p,q为常数由解的结构可知,(4)的通解是:故只要求出(4)的一个特解.待定系数法1.型n次多项式与指数函数乘积因此设待定多项式将代入(4)式并整理得:(1).当不是特征根时:因此取则设(2).当是特征单根时:因此是n次多项式,则设是n+1次多项式,例:求的一个特解.型,由于不是特征根,则设将代入方程得:则一个特解为(3).当是特征重根时:因此是n次多项式,则设是n+2次多项式,由于是特征单根,则设将代入方程得:则一个特解为因此通解为:例:求的通解.则对应的奇次方程的通解为2.型此时设特解为:不
3、是特征根是特征根证明略n次多项式例:求的一个特解.由于是特征根,则设将代入方程得:则一个特解为例:求的通解.则对应的奇次方程的通解为由于是特征根,则设将代入方程得:则一个特解为因此通解为:题型解析
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