常微分方程 2.2 线性方程与常数变易法.ppt

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1、§2.2线性方程与常数变易法7/27/2021常微分方程一阶线性微分方程7/27/2021常微分方程一一阶线性微分方程的解法-----常数变易法7/27/2021常微分方程代入(1)得积分得注求(1)的通解可直接用公式(3)7/27/2021常微分方程例1求方程通解,这里为n常数解:将方程改写为首先,求齐次方程的通解从分离变量得两边积分得7/27/2021常微分方程故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即积分得故通解为7/27/2021常微分方程例2求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为7/27/2021常微分方程例3求值问题

2、的解.解:先求原方程的通解7/27/2021常微分方程故所给初值问题的通解为7/27/2021常微分方程形如的方程,称为伯努利方程.解法:7/27/2021常微分方程例4求方程的通解.解:解以上线性方程得7/27/2021常微分方程例5R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二线性微分方程的应用举例电路的Kirchhoff第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.7/27/2021常微分方程则电流经过电感L,电阻

3、R的电压降分别为解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:7/27/2021常微分方程故当开关K合上后,电路中电流强度为7/27/2021常微分方程作业P377,8,11,12,15,16,207/27/2021常微分方程