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1、第二章一阶微分方程微分方程课程的一个主要问题是求解，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但对一般的微分方程是无法求解的，的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转化为已解决的问题进行求解。如对一般的二元函数，我们无法求出（1）一阶微分方程12.1线性方程2.2变量可分离方程2.3全微分方程2.4变量替换法2.5一阶隐式方程2.6近似解法2.7一阶微分方程的应用2.8习题课本章的主要内容2一、线性齐次方程线性齐次方程:若中时，求解思想：§2.1线性方程一阶线性微分方程将进行变形，将方程左端 整理成某一个函数的导
2、数，再进行积分求解。3例2.1.1求线性齐次方程的通解。解：对于方程两端乘以得由于故方程的通解为故其中为任意常数。4一般地，对方程即整理得通解为后得两端同乘以5二、线性非齐次方程1.积分因子法给方程两边乘以函数两种解法变成一个函数的导数，使左边整理得：积分得通解：称为方程的积分因子。62.常数变易法思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。再把通解表达式中的常数c换成一个待定函数。即令先求对应的齐次方程的通解为：7线性非齐次方程设想待定函数8一阶线性非齐次微分方程的通解：常数变易法：齐次
3、方程通解中的常数变易为待定函数。9非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解一阶线性方程解的结构注高阶线性方程解的结构，高阶非齐次线性方程的常数变易法.10线性微分方程解的性质:1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍为非齐次方程的解。4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。11解练习12练习解初值问题:解改写方程：特解:13解典型的一阶非齐次线性方程.分析练习14既
4、不是线性方程,也不能分离变量.改写方程：以x为未知函数,的一阶非齐次线性方程.分析y为自变量解方程练习15此外,y=1也是原方程的解.解解方程练习16解微分方程解原方程变形一阶线性方程原方程通解:练习17分析这不是典型类型，解线性方程练习18解积分方程平行于y轴的动直线被曲线y=f(x)阴影部分的面积,截下的线段PQ之长数值上等于求曲线y=f(x).所求曲线方程练习19求微分方程的一个解所围平面图形绕x轴旋转体体积最小.解练习改写微分方程20数，求微分方程的周期解。解：齐次方程的通解为方程的通解为例：2.1.3为了使以为周期
5、，须满足是以为周期的周期函数，是正常设21整理得为周期以（令）将c的表达式代入通解,再一次利用f(x)的周期性得:22线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义:我们可以利用它来研究解的性质，对解进行“估值”。证：设为方程的任一解，它满足某初始条件我们只证上有界。于是试证方程的所有解均在上有界。设函数在上连续且有界,练习23设于是，对有原题得证。24三、Bernoulli方程伯努利方程的标准形式:求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.除方程两边,得解法:(线性方程)25例2.1.4求初值问题的解。解：方程两边同乘以2
6、y后得令代入得通解为将代入得代入初值条件得26解伯努利方程作变换原方程的通解:练习27解方程解y视为自变量,两边除以的伯努利方程.练习28例2湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时.开始湖中有水400000立方米.河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时,湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时,湖泊水中盐酸的含量.解:设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑内湖泊中盐酸的变化.四、线性微分方程的应用举例29因此有该方程有
7、积分因子两边同乘以后,整理得积分得?30利用初始条件得故31(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli(1654–1705)瑞士数学家,数学家.和极坐标下的曲率半径公式,1695年《猜度术》,则是大数定律的最早形式.提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多位1694年他首次给出了直角坐标1713年出版了他的巨著这是组合数学与概率论史上的一件大事,此外,他对双纽线、悬链线和对数螺线都有深入的研究.32P.401（2，3，6，7，8，9，13，15）2（2，3），5，6作业33
