常微分方程43线性方程组的基本理论.ppt

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1、4.3线性微分方程组的基本理论非齐次线性微分方程组先考虑对应的齐次线性微分方程组解的结构问题.1一、线性齐次方程组解的结构证明:Th4.5设是齐次线性方程组的解,则它们的线性组合也是齐解。是齐次线性方程组的解.2线性相关及线性无关则称此组函数向量在上线性相关,否则称为线性无关.有成立，设为上的函数向量,若有一组不全为零的数?3例4.3.1证明在任何区间I上都是线性相关的.证明:取则故在I上是线性相关的.4例4.3.2证明在上线性无关.只需证明:要使成立,线性无关.5朗斯基判别准则:设有n个函数向量为这些函数向

2、量组的朗斯基行列式.称6Th4.6齐次线性方程组的解组在线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式由的任意性有均线性相关.则所以证明:充分性.在上线性相关,设7则线性相关，必要性.若,取,有考虑Th4.6齐次线性方程组的解组在线性相关的数,使得即存在不全为零由解的叠加原理知是齐线性方程组的解,且由解的存在唯一性定理知,所以齐解组线性相关.8Th4.7设是齐次线性方程组的任意n个解,则它们的朗斯基行列式其中为齐次线性方程组对应的系数矩阵A(t)的对角线元素.------刘维尔公式证明:由行列式的求导法则及是解得证.

3、9推论4.1齐次线性方程组的任一解组的在上或恒不为零,或恒为零.在上线性无关推论4.2齐次线性方程组的解组有.在上某点处，10Th4.8线性齐次微分方程组一定存在个线性无关解.证明:由解的存在惟一性定理,一定存在满足初始条件在上线性无关.因此的解11的n个线性无关解,则Th4.9（通解结构定理）设是方程组（1）是方程组的通解，其中是任意常数.（2）方程组的任一解均可表示为的线性组合.12证明：（1）由解的叠加原理知（1）是方程组的通解.是方程组的解,故彼此独立,所以是通解.13可知线性无关,因为是n个线性无关

4、解,即它们构成n维线性空间的基,故对向量一定存在唯一确定的一组常数满足（2）方程组的任一解均可表示为的线性组合.考虑叠加原理!解的唯一性!证明设是任一解,并满足14推论4.3方程组的线性无关解的最大个数为n.（2）方程组的任一解均可表示为的线性组合.的n个线性无关解,则Th4.9（通解结构定理）设是方程组（1）通解15基本解组:称方程组的n个线性无关解为一个基本解组.基解矩阵:由基本解组组成的矩阵为基解矩阵.解矩阵:如果矩阵的每一列都是的解,称这个矩阵为方程组的解矩阵.Th4.10方程组一定存在一个基解矩阵并

5、若为其任一解,则.其中c是确定的n维常数向量.16Th4.11方程组的一个解矩阵为基解矩阵在上某点有证明若是的解矩阵,则有即又因为是基解矩阵,所以17推论4.4若是在上的基解矩阵,方程组在区间上的基解矩阵.是非奇异常数矩阵,则也是现令两边关于t求导得证明:方程组的基解矩阵满足矩阵方程故有即是的解矩阵,又由于C的非奇异性,因此,也是方程组的基解矩阵.18推论4.5若是两个基解矩阵,则存在非奇异常数矩阵C,使得故是常数矩阵,且为非奇异的,即有令证明:因为是基解矩阵,故其逆矩阵存在,是可微矩阵,且19例4.3.3验

6、证是方程组的基本解矩阵,并写出其通解.是方程组的一个解….解:首先验证是解矩阵,表示第一列,是解矩阵,通解为:是方程组的基本解组.20试证明以为基本解组的齐次线性微分例4.3.4设在上线性无关,方程组具有下列形式其中,是所求的一阶微分方程组的未知函数,是的第个元素.21方程组的基解矩阵从而证明:设所求的微分方程组为代入微分方程组22例4.3.5已知线性齐次微分方程组的两组解为，试求该微分方程组．解:线性无关,……所求方程组为23二、非齐次线性微分方程组解的结构性质1如果是非齐次方程组的解,是对应的齐次线性方程

7、组的解,则是非齐次方程组的解．性质2如果是非齐次方程组的两个解,和是对应齐次方程组的解.则性质3设的解……是方程组24Th4.11(通解结构定理)设是方程组齐次方程组的一个基解矩阵,是非齐次方程组的某个解,则非齐次线性方程组的任一解可表示为其中c为确定的常数列向量.证明:由性质知,是齐次方程组的解,非齐次方程组的通解?25设非齐次方程组解代入非齐次方程组得因为齐次方程组的通解从到积分,并取是可逆的,常数变易法求解非齐次方程组的特解.26TH4.12若是齐次方程组的基解矩阵,则（1）向量函数是非齐次方程组的解,

8、并满足(2)非齐次方程组的通解是----非齐次方程组的常数变易公式.方程组满足初始条件的解?27解对应齐次方程组的基解矩阵方程组的特解:的逆矩阵例4.3.6求方程组的通解.原方程的通解:28作业:P1991，4，6，8(1)，929