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1、第3章 线性方程3.1引言3.2解的存在性与唯一性3.3齐次线性方程组通解的结构3.4非齐次线性方程组通解的结构3.5边值问题和周期解3.6高阶线性方程3.7线性微分方程的一些求解方法3.8线性方程的复值解3.1引 言在第2章中，我们介绍了解微分方程的一些初等积分法，利用这些方法，人们可以求得方程的通解表达式.然而，能用初等积分法解出的微分方程是很少的.这就迫使人们将注意力转移到直接根据方程的结构以及出现在方程中的函数的性质去探索解的各种性质，建立方程的各种理论.本章至第5章所要讲述的就是沿着这个方向建立的
2、基本理论和基本方法.本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表达式.然而，人们可直接根据方程的特点，从理论上推断它的通解具有简单而清晰的结构.这一重要事实不仅是线性方程理论的基石，而且在非线性方程的研究中也有着重要的应用.由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本章将首先研究一阶线性微分方程组，然后将一阶线性微分方程组的结果应用到高阶线性微分方程式上.所谓一阶线性微分方程组,是指形如(3.1)的方程组，它的右端是x1,…,xn的线性函数，这
3、里aij、fi(i,j=1,…,n)都是区间I上的已知函数.为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记则方程组(3.1)可以简写为(3.2)其中,A(t)和f(t)分别称为系数矩阵和非齐次项.当非齐次项f(t)≡0时，式(3.2)变成(3.3)它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项，即fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零时，式(3.2)称为非齐次线性微分方程组.初值条件也可简记为其中为维列向量，即向量的转置.以后凡谈到向量，如无特殊说明，都是指列向量.为了便于对写成向量和矩阵形式的微分方程组(3.2)进行讨
4、论，我们引进一些记号和概念.称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可微，或连续可微，等等）的，指的是它的每一个元素都是连续（或可微，或连续可微，等等）的；一矩阵函数的导数（或积分，或极限）,是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵函数序列是收敛（或在区间Ｉ上一致收敛）的，指的是它的每一个相应元素作成的序列是收敛（或在区间I上一致收敛）的.如果则记而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，容易推出如下几个不等式：(1)
5、Ax
6、≤
7、A
8、·
9、x
10、.
11、(2)若B也是n×n矩阵，则
12、AB
13、≤
14、A
15、·
16、B
17、；特别对任意自然数m，有(3)三角不等式：若y也是n维向量，则
18、x+y
19、≤
20、x
21、+
22、y
23、.(4)若x(t)是n维向量，且在a≤t≤b上连续，则3.2解的存在性与唯一性对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是，它是否有解？更明确地说，是否有满足给定初值条件的解？进而还要问：满足给定初值条件的解是否唯一？这些问题得不到满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他研究.下面的定理就线性方程组的情形对上述问题给出了完满的回答，它是线性微分方程理论的基础.定理3
24、.1设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一t0∈I和任意n维常向量ξ,方程组(3.2)恒有定义在整个区间I上且满足初值条件式(3.4)的解.此外，方程组(3.2)也只能有一个解满足初值条件式(3.4).证明这个定理的证明分4步完成.(1)把初值问题式(3.2)、(3.4)化成下述等价的积分方程组：(3.5)等价的意思是：如果x=φ(t)是初值问题式(3.2)、(3.4)的解，则它是积分方程组(3.5)的连续解；反之，如果x=φ（t)是积分方程组(3.5)的连续解，则它必是初值问题式(3.2)、(3.
25、4)的解.这样一来，我们就只需证明：积分方程组(3.5)在区间I上有连续解，且只能有一个连续解.(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-1941）序列，即用数学归纳法容易证明，φk(t)(k=1,2,…)在区间I上有定义且连续.(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的任意有限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组(3.5)在区间I上的连续解.事实上，假设I1是I的一个任意给定的有限闭子区间，且t0∈I1.由序列与级数的关系知，只需证明无穷级数(3.7)在I1上一致收敛.以K
26、表示
27、A(t)
28、和
29、A(t)ξ+f(t)
30、在I1上的一个公共上界.于是当t∈I1时,有用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有(4)证明唯一性，即证明：如果x=ψ(t)，在区间上是方程组(3.5)的连续解，且t0∈I0，则在I0上必有(3.8)(3.9)于是我们有把它代入式(3.9)右端，进而得到用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有将定理3.1应用于方程组(3.3)特别就有引理3.1方程组(3.
