线性方程与常数变易法

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1、§2.2线性方程与常数变易法一阶线性微分方程一一阶线性微分方程的解法-----常数变易法代入(1)得积分得注求(1)的通解可直接用公式(3)例1求方程通解,这里为n常数解:将方程改写为首先,求齐次方程的通解从分离变量得两边积分得故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即积分得故通解为例2求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为例3求初值问题的解.解:先求原方程的通解故所给初值问题的通解为解记,并允许C取零而包含特解堂练1解方程用常数变易法求原非齐次方程通解，解先求对应齐次方程的通解。堂练2求定解问题再根据初条件求特解,将代入通解得原方程的通解为：堂练3求解方程解此方程的

2、正规形式是：它是非线性的，又不能分离变量，现将方程改写为：于是得原方程特解：这已是以x为未知函数的、标准的一阶线性非齐次方程,先求得‘齐次’通解，进而化成原方程的通解形如的方程,称为伯努利方程.解法:例4求方程的通解.解:解以上线性方程得作业49页1（1）（8）（12）（14）（16）例5R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二线性微分方程的应用举例电路的Kirchhoff第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.则电流经过电感L,电阻R的电压降分别

3、为解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:故当开关K合上后,电路中电流强度为作业P377,8,11,12,15,16,20