阶线性方程与常数变易法习题及解答

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1、§2.2一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解.6．解：=+令则=u因此：=（*）将带入（*）中得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同

2、乘以令这是n=2时的伯努利方程。两边同除以令P（x）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==15这是n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式==16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞

3、的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）（2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解则（1）（2）（1）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2）由题意得：（3）（4）1）先证是（2.28）的一个解。于是得故是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则（4’）于是（4’）-（4）得从而即所以，命题成立。（1）设

4、，是（2.3）的任意两个解则（5）（6）于是（5）得即其中为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得即也就是满足方程（2.3）所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即横截距为，纵截距为。由题意得：（5）方程变形为于是所以，方程的通解为。（6）方程变形为于是所以，方程的通解为。22．求解下列方程。（1）解：===（2）P

5、(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式===