线性方程与常数变易法

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1、§2.2线性方程与常数变易法/LinearODEandvariationofconstantsMethod/本节要求/Requirements/熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。内容提要/ConstantAbstract/一、一阶线性微分方程/First-OrderLinearODE/………………(2.2.1)的方程称为一阶线性微分方程(即关于是线性的)其中为x的已知函数。当时，称为齐次线性方程;当时，称为非齐次线性方程。形如一般形式…………(2.2.

2、2)§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod（1）齐次线性方程/HomogenousLinearODE/解法:分离变量，得:积分，得:..……………………..(2.2.2)§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod得因为为(2.2.2)的解,所以其通解为:…………………….…(2.2.3)其中c为任意常数。满足初始条件的解是…………………..(2.2.3)’§2.2LinearODEandvariationofco

3、nstantsMethod由公式(2.2.3)’得，所求特解为:由公式(2.2.3)得，所求通解为：解例1的通解,并求满足条件的特解试求微分方程§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod（2）非齐次线性方程/Non-HomogenousLinearODE/采用常数变易法求解设想方程有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为x的待定函数即设………………….(2.2.4)……………………………(2.2.3)方程的解。§2.2LinearODEandvaria

4、tionofconstantsMethod上式代入方程(2.2.1)，得:即:积分得:§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod代入(2.2.4)………..(2.2.5)得:同时，方程满足初始条件的特解为:§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程特解。非齐次线性方程通解的结构：通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。由(2.2.5)得:§2.2Linea

5、rODEandvariationofconstantsMethod常数变易法这种将常数变易为待定函数的方法,通常称为常数变易法.一阶非齐线性微分方程的通解或例2解1)先求对应的齐次方程通解2)用常数变易法求方程通解设是方程的解，代入原方程，得§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod说明：对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod例3解1)转换变量位置2)用公式求方程通解

6、§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod有时方程关于x为y的函数，方程关于于是仍可以根据上面的方法求解。注意:不是线性的，但如果视是线性的，§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod解方程可以改写为:练习故通解为:即:§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod二、可化为线性方程的方程1伯努利方程/BernoulliODE/2*黎卡提方程/RiccatiODE/§2.2Lin

7、earODEandvariationofconstantsMethod1伯努利方程/BernoulliODE/形如的方程称为伯努利方程，其中它通过变量代换可化为线性方程。解法：将方程(2.2.6)的各项同乘以得:令§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod用上式求解后，代入原变量,便得原方程的通解。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod例4将方程改写为:解故§2.2LinearODEandvariationofc

8、onstantsMethod2黎卡提方程/RiccatiODE/形如的方程称为黎卡提方程。特点:在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分形示表示，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod解法若方程有一特解为设则化为伯努利方程。§2.2LinearODEandvariationofconstantsMethod由观察看出是方程的一个特解，于