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《江苏大学-常微分方程-3-7-一阶线性方程与常数变易法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.2一阶线性方程与常数变易公式(Firstorderlineardifferentialequationandconstantvariationformula)［教学内容］1.认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程;2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式；3.介绍电学知识和基尔霍夫定律；4.认识Bernoulli方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法;5.介绍其他可化为一阶线性方程的例了.［教学重难点］重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一•阶线性方程.［教学方法］口学1、4；讲授2、3课
2、堂练习［考核目标］1•熟练运用常数变易公式；2.知道J捫sinbxdx计算和一些三角函数恒等式；3.知道电学—•些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律；4.知道溶液混合问题建模;5.认识Bernoulli方程并会经过适当变换化为线性方程求解.6.知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1.认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程(Firstorder(non)homogeneouslineardifferentialequation)(1)称形如=P(x)y的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续；dx称形如学=p(x)y+q
3、(x)的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中p(x),q(x)连续ILq(x)dx不恒为零.(2)当y#0时，改写—=p(x)y为^=p(x)dx,yJydx=Jp(x)dx,In
4、y
5、=jp(x)dx+C],其中Jp(x)dx表示P(x)的一个原函数(antiderivative).因此,dy〜Ip(x)dx——=p(x)y通解(generalsolution)为y=土Cedxdv［P(x)dx此外y=0也是解.综上，竺=p(x)y的解为y=C』，C为任意常数.dx⑶常数变易法：如何求—=p(x)y+q(x)的解呢？dxIp(x)dx假定上述线性非齐
6、次方程有如下形式的解y二C(x)e」，则代入原方程来确定C(x),(jvfP(x)dxfp(x)dxfp(x)dx—=Cf(x)eJ+C(x)p(x)eJ=p(x)C(x)eJ+q(x),dxIpOOdxp(x)dxp-fp(x)dx即C(x)e=q(x),C*(x)=cJq(x),C(x)=jeJq(x)dx+C,此处C为r・[p(x)dx・[p(x)dx任意常数，Jeq(x)dx为函数eq(x)—个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为Jp(x)dxy(x)=ep(x)dxq(x)dx+C)=CeIp(x)dxIp(x)dx「p(x)dx+eJ
7、eq(x)dx.2.一些实际应用例子(Applications)例2&电容器的充电和放电模型RC电路：假定开始电容C上没有电荷，电容两端电压为0,合上开关1后，电池E对■电容C开始充电，电池电压为E,电阻阻值为R,电容C两端电压逐渐上升.写出充电过程中，电容C两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q二UC,电流U—=电阻两端电压为RI=R—.由基尔崔夫定律知，闭合回路上压降为零.dtdtdt即WE-U-RC—=0•改写为—U+—,这是一个一阶线性非齐次方程.dtdtRCRC1E记p(t)=一一
8、，q(t)=—，由常数变易公式得到，RCRCfp(t)dt/•-fp(t)dt〜一-—『E~——〜一U(t)=c」(JcJq(t)dt+C)=cRC(JcRC—dt+C)=cRC(EcRC+C)=E+cRCCt再注意到初始条件U(0)=0,U(O)=Eco+c°C=O,C=・E,因此，U(t)二E—EJrJ例29.考察如下RL电路图，设电源E的电压为E=Umsinwt,Um>0为常数，求电感线圈上电流I随时间的变化规律，设t=0时，1=0.解：设I(t)农示时刻t时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为L^.dt由基尔霍夫定律知，闭合
9、1门1路电压降为零.于是E-RI-L—=0•改写为dt-=-—+-Umsinwt,这是一个一阶线性非齐次方程.dtLLmRTJ记p(t)=_仝，q(t)=-^sinwt,由常数变易公式得到，LrL/[p⑴dir-]p⑴di〜-擘r~~XJ〜I(t)=eJ(JeJq(t)dt+C)=eL(JeL^^sinwtdt+C)featsinbtdt=fea,Im(eibt)dt=Im(fe(a+ib)tdt)=Im(—!—e(a+ib)t)=Im(^—•ea(cosbt+isinbt))JJJa+iba_+b_alasinbt-bcosbt=ea2+b2RtI
10、TITje^sinWtdt=-R.RteL(一sinwt-wcoswt)elsinwtdt=—521L(R/
