2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1.doc

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1、2.4.2　抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的几何性质.(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(难点)[基础·初探]教材整理1　抛物线的几何性质阅读教材P68“思考”以下～“例3”以上部分内容，完成下列问题.标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R________________对称轴________________顶点________离心率_____

2、___【答案】　y≥0，x∈R　y≤0，x∈R　x轴　y轴　(0,0)　1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称.(　　)(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　　)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)√教材整理2　直线与抛物线的位置关系及判定方法阅读教材P71“例6”～P72“练习”以上部分内容，完成下列问题.位置关系公共点判定方法相交有两个或一个公共点k＝0或联立直线(斜率为k)与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ相切有且只有一个公共点Δ＝0

3、相离无公共点Δ<01.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则

4、AB

5、＝(　　)A.10　B.8C.6D.4【解析】　

6、AB

7、＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.【答案】　B2.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，

8、AF

9、＝2，则

10、BF

11、＝________.【解析】　F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴

12、BF

13、＝

14、AF

15、＝2.【答案】　2[小组合作型]抛物线几何性质的应用　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别

16、交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程.【精彩点拨】　由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A，B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值，进而写出标准方程.【自主解答】　由已知得＝2，所以＝4，解得＝，即渐近线方程为y＝±x.而抛物线准线方程为x＝－，于是A，B，从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点

17、到焦点的距离为.[再练一题]1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.【导学号：】【解】　如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.又

18、OA

19、＝

20、OB

21、，∴x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0.∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＋x2＋2p≠0，故x1－x2＝0，即x1＝x2.由此可得

22、y1

23、＝

24、y2

25、，即线段AB关于x轴对称.∴AB垂直于x轴，且∠AOx＝

26、30°，∴＝tan30°＝，而y＝2px1，∴y1＝2p.故

27、AB

28、＝2y1＝4p，即正三角形的边长为4p.直线与抛物线的位置关系　已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

29、AB

30、＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.【精彩点拨】　(1)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解.(2)根据(1)求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由＝＋λ，可用λ表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值.【自主解答】　(

31、1)直线AB的方程是y＝2·，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝，由抛物线定义得：

32、AB

33、＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)；设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：

34、y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整