2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习新人教A版选修2-1.doc

《2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习新人教A版选修2-1.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.4.2抛物线的简单几何性质[A　基础达标]1．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝x　　　　　　　　B．y2＝3xC．y2＝6xD．y2＝－6x解析：选C．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知＝，故p＝3．因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x．2．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有

2、公共点解析：选C．因为直线y＝kx－k恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则为(　　)A．4B．－4C．p2D．－p2解析：选B．法一：(特例法)当直线垂直于x轴时，点A，B，＝＝－4．法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2＝－p2，则＝＝＝＝－4．4．有一个正三角形的两个顶点在抛物

3、线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是(　　)A．2pB．4pC．6pD．8p解析：选B．设A、B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA方程为y＝x．由得y＝2p，所以△AOB的边长为4p．5．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若

4、AB

5、＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)A．B．2C．D．4解析：选C．直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点．

6、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

7、AB

8、＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝．6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若

9、AB

10、＝7，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知

11、AB

12、＝

13、AF

14、＋

15、BF

16、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是线段AB的中点M的横

17、坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝，故填．答案：7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．解析：设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组，得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y2＝4x．答案：y2＝4x8．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则

18、AB

19、的最小值为________．解析：设点B(

20、x，y)，则x＝y2≥0，所以

21、AB

22、＝＝＝＝．所以当x＝时，

23、AB

24、取得最小值，且

25、AB

26、min＝．答案：9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且

27、AM

28、＝，

29、AF

30、＝3，求此抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题知M．因为

31、AF

32、＝3，所以y0＋＝3，因为

33、AM

34、＝，所以x＋＝17，所以x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4．所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2

35、＝8y．10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△AOB的面积等于时，求k的值．解：(1)证明：如图，由方程组消去x并整理，得ky2＋y－k＝0．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知y1＋y2＝－，y1·y2＝－1．因为kOA·kOB＝·＝·＝＝－1，所以OA⊥OB．(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0．令y＝0，则x＝－1，即点N(－1，0)．所以S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝

36、ON

37、

38、y1

39、＋

40、ON

41、

42、y

43、2

44、＝

45、ON

46、

47、y1－y2

48、＝×1×＝＝，所以k＝±．[B　能力提升]11．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2，1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1，l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选C．因为点P(2，1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C交于两点，所以过点P的直线l2在分别过这两点或与x轴平行时符合题意．所以满足条件的直线l2共有3条．12．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别