2020年高三数学大串讲第16讲（等差、等比数列中的基本量问题）（解析版）.doc

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1、第16讲（等差、等比数列中的基本量问题）【目标导航】若已知一个数列是等差数列或者等比数列则直接运用通项公式求，即可。用an＝，将递推关系转化为仅含有an的关系式(如果转化为an不能解决问题，则考虑转化为仅含有Sn的关系式，特别注意当n≥2时，Sn－Sn－1＝an，。若已知连续两项差的形式，形如an－an－1＝f(n)(n∈N*且n≥2)。则运用累加法进行求数列的通项。即：n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1．若已知连续两项的商的形式，形如＝f(n)(n∈N*且n≥2

2、)，则运用叠乘法进行求数列的通项。即：n≥2时，an＝··…··a1．若一个数列既不是等差数列页不是等比数列，则考虑次数列加减一个实数或者变量，或者进行其它变形的处理得当一个特殊数列。形如an＝pan－1＋q(n∈N*且n≥2，p≠1)化为an＋＝p(an－1＋)形式．令bn＝an＋，即得bn＝pbn－1，转化成{bn}为等比数列，从而求数列{an}的通项公式．【例题导读】例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1－2an＝1，a1＝1，则S9的值为________．【答案】1013　【解析】由an＋1－2

3、an＝1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，设bn＝an＋1的前n项和为Tn，则T9＝＝1022，S9＝T9－9＝1013.例2、设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________．【答案】62【解析】　设公比为q，因为a1＝2，a3＝a2＋4，所以2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1，因为{an}为正项数列，所以q＝2，所以S5＝＝62.例3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，

4、则a1＝________．【答案】1　【解析】首先根据S3＝7，S6＝63可判断出等比数列{an}公比q≠1，由等比数列的前n项和公式得则＝1＋q3＝9，解得q＝2，a1＝1.例4、设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若＝－，则＝________．【答案】　【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝＝－.易得S6＝S3(1＋q3)，所以＝1＋q3＝1－＝.例5、等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．【答案】－4　【解析】由等差数列通项公式、求和公式得a4＝

5、a1＋3d＝10，S12＝12a1＋66d＝90，解得a1＝13，d＝－1，故a18＝a1＋17d＝13－17＝－4.例6、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2015＝________.【答案】　【解析】由an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)得＋＝(n≥2)，又a1＝1，a2＝，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以＝n，即an＝，所以a2015＝.例7、Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.【

6、答案】.　【解析】解法1由＝可得，＝＝，当n＝1时，＝，所以a2＝2a1.d＝a2－a1＝a1，所以＝＝＝.解法2＝＝，观察发现可令Sn＝n2＋n，则an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，所以＝＝.例8、已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且．则数列的通项公式；【答案】．【解析】因为数列是正项等差数列，设首项为，公差为，所以解得，所以．例9、已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且2Sn＝an＋1－3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；【解析】(1)2Sn＝an＋1

7、－3，2Sn－1＝an－3(n≥2)，两式相减，得2an＝an＋1－an.即当n≥2时，an＋1＝3an.(2分)由a1＝S1＝3，得6＝a2－3，即a2＝9，满足a2＝3a1.所以对n∈N*，都有an＋1＝3an，即＝3.所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，通项公式an＝3n.例10、在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．【答案】　【解析】由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a

8、9＝－，所以a10＝.例11、已知数列满足，，当，时，．（1）求数列的通项公式；【解析】∵当，时，，∴，，…，．把上面个等式左右两边分别相加，得，整理，得．当时，满足．∴例12、已知数列{an}中，a1＝1，an＝2nan－1(n∈N*且n≥2)，则an＝．【答案】an＝2．解析由题意，＝2n，＝2n－1，…，＝22，叠乘得＝2n·2n－1·…·22＝2，所以an＝2(n