2020年4月高三数学（文）大串讲第21讲（基本不等式的最值问题）（解析版）.doc

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1、第21讲（基本不等式的最值问题）【目标导航】三个不等式关系：(1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．(2)a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．(3)a，b∈R，≤()2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【例题导读】例1、(2019常州期末）已知正数x，y满足x＋＝1，则＋的最小值为________．【答案】4　【解析】解法1(直接消元)由x＋＝1得

2、y＝x－x2，故＋＝＋＝＋＝≥＝4，当且仅当x＝1－x，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.解法2(直接消元)由x＋＝1得＝1－x，故＋＝＋，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值)同解法1，2得＋＝＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.例2、若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．【答案】.8　【解析】解法1因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.解法2因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞

3、3)，y－3＝－6＞0，所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.例3、已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．【答案】(－∞，9]　【解析】m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.解法(“1”的代换)　因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.例4、若正实数满足，则的最小值是▲．【答案】8【解析】因为正实数满足，所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取

4、得最小值.例5、若，且，则的最小值为．【答案】：【解析】由已知等式得，从而，，故有最小值.例6、已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．【答案】【解析】　解法1令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号．例7、已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．【答案】【解析】设解得所以x＋y＝≤2，即m＋n≤4.设t＝＋＝＋，所以4t≥(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.即t≥，当且仅当＝，即m＝n时取等号．例8、若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋

5、2b＋c，则c的最大值为________．【答案】　【解析】解法1由abc＝a＋2b＋c得，c＝＝＝1＋，由ab＝a＋2b得，＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，故c≤.解法2因为abc＝a＋2b＋c，ab＝a＋2b，所以abc＝ab＋c，故c＝＝1＋，由ab＝a＋2b利用基本不等式得ab≥2，故ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，故c＝1＋≤1＋＝.解法3(对等性猜测)因为已知条件可以改写为“·a·2b＝a＋2b，·a·2b·c＝a＋2b＋c”，故a与2b对等，不妨设a＝2b，解得a＝2b＝4，c＝，故c的最大值为.例9、已知a，b，c均为正数，且ab

6、c＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．【答案】.8　【解析】由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2＋2＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b＋c的最小值为8.例10、已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．【答案】　解法1(双变量换元)因为x>0，y>0，且满足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，令u＝5x－y，v＝x＋y，则有u>0，v>0，uv＝1，并且x＝，y＝，代入12x2＋8xy－y2＝122＋8··－2＝≥＝＝＝，

7、当且仅当u＝3v，uv＝1，即u＝，v＝，亦即x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得最小值.解法2(常数1的代换)因为x>0，y>0，且满足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，因为x>0，y>0，x＋y>0，所以5x－y>0，即有0<<5，令t＝，则0