初三数学第13讲：圆的辅助线添加 教师版 国展平台制作人艾玉明.docx

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1、第十三讲圆的辅助线添加垂径定理解题应用举例垂径定理的题设和结论题设结论注意：题设中的两个条件缺一不可。垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．推论1：　(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。　(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；　(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，推论1

2、的实质是：一条直线(如图)　(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．　(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．　(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．推论2：　圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图中，若AB∥CD，则AC＝BD　注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直

3、于弦的直径作为辅助线。一、利用垂径垂直平分弦，证有关线段相等例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。证明：过O作OM⊥CD于M，　∴CM=DM，　　∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE//OM//FB，　　又∵O是AB中点，∴M是EF中点（平行线等分线段定理），　　∴EM=MF，　　∴CE=DF。　　说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，

4、那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。　二、利用垂径平分弦所对的弧，处理角的关系　例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。　　分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：（1）假若△ABC

5、是锐角三角形，如图，由AB=AC，可知，，∴点A是弧BC中点，连结AO并延长交BC于D，由垂径推论可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm，再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm，可求出BD的长，则AD长可求出，则在Rt△ABD中可求出AB的长。（1）若△ABC是钝角三角形，如图，连结AO交BC于D，先证OD⊥BC，OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm，OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长，从而在Rt△ADB中求出AB的长。略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB，　　∵AB=A

6、C，　　∴，∴AD⊥BC且BD=CD，　　∴OD=2，BO=6，　　在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4，　　在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8，　　由勾股定理可得：AB===4(cm)　　（2）同（1）添加辅助线求出BD=4，　　在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4，　　由勾股定理可得：AB=(cm)，　　∴AB=4cm或4cm。　　说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。三、利用垂径定理，构造勾股定理　例3．已

7、知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。求证：AC=BD。　证明：作OE⊥AB于点E，　　∴CE=ED，　　∵OA=OB，　　∴AE=BE，　　∴AC=BD。　　请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。　　变化一，已知：如图，OA=OB，求证：AC=BD。变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E

8、，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。解：作OF⊥CD于F，连结OD，　　∵AE=1，EB=5，　　∴AB=6，∴OA==3，　　∴OE=OA-AE=3-1=2，在Rt△OEF中，∵∠DEB=600，　　∴∠EOF=300，∴EF=OE=1，　　∴OF=，　　在Rt△OFD中，OF=，OD=OA=3，　　∴DF=(cm)，　　∵OF⊥CD，∴DF=CF，　　∴CD=2DF=2(cm)说明：因为垂径定理涉及垂直关系，