初三数学第13讲：圆的辅助线添加 学生版 国展平制作人艾玉明.docx

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1、第13讲圆的常见辅助线（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）垂径定理解题应用举例垂径定理的题设和结论题设结论注意：题设中的两个条件缺一不可。（不用添加内容，也不做修改）（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）一、利用垂径垂直平分弦，证有关线段相等例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。证明：过O作OM⊥CD于M，　∴CM=DM，　　∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE//OM//FB，　　又∵O是AB中点，∴M是EF中

2、点（平行线等分线段定理），　　∴EM=MF，　　∴CE=DF。　　说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。　二、利用垂径平分弦所对的弧，处理角的关系　例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。　　分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会

3、是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：（1）假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC，可知，，∴点A是弧BC中点，连结AO并延长交BC于D，由垂径推论可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm，再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm，可求出BD的长，则AD长可求出，则在Rt△ABD中可求出AB的长。（2）若△ABC是钝角三角形，如图，连结AO交BC于D，先证OD⊥BC，OD平分

4、BC，再连结OB，由OB=6cm，OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长，从而在Rt△ADB中求出AB的长。略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB，　　∵AB=AC，　　∴，∴AD⊥BC且BD=CD，　　∴OD=2，BO=6，　　在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4，　　在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8，　　由勾股定理可得：AB===4(cm)　　（2）同（1）添加辅助线求出BD=4，　　在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4，　　由勾股定理可得：AB=(cm)，　　∴AB=4cm或4c

5、m。　　说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。三、利用垂径定理，构造勾股定理　例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。求证：AC=BD。　证明：作OE⊥AB于点E，　　∴CE=ED，　　∵OA=OB，　　∴AE=BE，　　∴AC=BD。　　请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。　　变化一，已知：如图，OA=OB，求证：AC=BD。变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。说

6、明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。解：作OF⊥CD于F，连结OD，　　∵AE=1，EB=5，　　∴AB=6，∴OA==3，　　∴OE=OA-AE=3-1=2，在Rt△OEF中，∵∠DEB=600，　　∴∠EOF=300，∴EF=OE=1，　　∴OF=，　　在Rt△OFD中，OF=，OD=OA=3，　　∴DF=(cm)，　　∵OF⊥CD，∴DF=CF，　　∴

7、CD=2DF=2(cm)说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。例5、如图大⊙O的半径为6cm，弦AB=6cm，OC⊥AB于C，以O为圆心OC的长为半径作圆，交OA、OB于点D、E。(1)求小⊙O的半径OC的长(2)求证：AB∥DE分析：求OC的长的问题实际上是一个解直角三角形的问题，而求证AB∥DE则可以利用三线八角来完成。（1）解

8、：∵OA=OB=AB=6cm∴△AOB为等边三角形∴底边AB上的高OC也是底边上的中线∴OC=（2）证明：∵△AOB是等边三角形∴∠A=∠AOB=600在△ODE中，OD=OE，∠DOE=600∴△ODE为等边三角形∴∠ODE=600∴∠ODE=∠A∴DE∥AB说明：这里用到了等腰三角形“三线合一”的性质，若要证明“