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1、例谈数学探索题教学探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论，或从给定的问题要求中探究其祖应的必备条件、解题途径等等。数学株索题的鲜明特点式问题本身具有一定的开放性，其求解的过程中带有液嘲的探索任。教学探索题分为条件探索型，结论探索型，规律探索型.它是考查能力的好题型,因而成为历年高考命题的热点内咨。«1(条件探索型)已»
2、
3、<^<1,若函数/3=a?—2"1在区间[1,3]上的最大值为A/(。)，最小值为N(o),令g(a)=M(a)-N(a)°(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断函敬g(G在区间&,1J上的单调性，并求出g(们的最小值。辨解：(1)a/(x)ffjg
4、象
5、为开口向上的抛物线，且对称轴为x=-e[l,3],a.••/(X)有最小值N(d)=1--;a^2<-<3Dt6/g
6、-,-L/(x)fi最大值M(a)=f⑴=。—1；a32当1<-<2时,a-,1，/M有最大值归(〃)=.尸(3)=9。一5。一2—(——),a329^-6+—(—<6/<1).a2(2)15-<6T1<<-i32g(%)-g(心)=(%-M)(1)>0,g(%)>g(缶)，~~a}a2——g(。)在—上是减函数.设-7、..•.当时,点坪：本题需要探索是该函敬为单调函敬的条件，属于条件探索型rOo本题求解也可以用导敬来解决。例2（给抡探索型）（1）设4为动孺圜的中心，B。为讨焦点FfO,M^BD的中点，连^AM并延长交孺圆于点C。求正：四边形4BCD为平行四边形的充要条件是也为定值且值为2（其中。为糊圆的半长轴）；a2（2）命题（1）的结抡能推广到丁曲线吗？为什么？沸解：（1）不师设i圆月程为二+二=1（〃>8>0）,F（c,0）为右焦点，CTb~,yI）,D（x2，光），M（x09y0）,弦8。的方程为/=my+c22欧立两斤程二+J=1与x=fny+c,得（m2b~+a2）y2+2b2mcy-b
8、4=0,crb~.o2于是有），0=±^=一一，X°=〃％+C=了"，由椅圆的第二2nrb~+仃m~b~+〃~定义，nBD=-［2—-（x^x2）］=2a—-,于是型=2—一莒一7。acm+aa〃广首先，若四ill形ABCD^平行四边形，删点。的坐标为（2x°,2y。）,将其代入明圆凡程并化简得4疽=用布2+/,由此可倬也==・a2其次，若L^!=2f94c2=m2b2^a2t于是有a2crca2b2meb2m“-j-为=~Tm"+9、CIABC。为平行四ill形。他做解题后的不断反复思考，是提升能力的一(2)命题(1)的结论在皿曲线中不成立，S0111形ABCD不可能为平行四协形・点许：关于命题(1)的结论在阪曲线中是否成立，这是需要探索的问靓.当然，我们也可以考虑圆、H物线中的情形.规定｛△"〃｝为数列｛劣｝的一阶差分敬列,其中规定｛△"%｝万｛劣｝的」阶差分敬列,其中抻好途径。M3(规律探索型)对数列杞〃｝,筋〃=an^-an(neN),对正整数*，-"七〃=△(△""〃)・=〃2+〃(〃EAT)，试判断｛△%,｝是否为等差或(1)已如数列亿〃｝的通咬公式％等比数列,为什么?(2)若数列｛《,｝首项％=1,且
10、满足△七〃一△%++%=—2”(住N),求数列｛。〃｝的通顶公式.(3)对(2)中敏列｛%｝,是否存在等差数列｛如｝,使得g+y+......+勾c；=“〃对一切自然〃en都成立？若存在，求教列｛勿｝的通顶公式；若不存在，删靖说明理由.现解：(1)®i=。〃+1—％)=(〃+1)2+(〃+1)—(〃2+〃)=2〃+2,.•.(An,,｝是首项为4,公差方2的等差敬列。(2)△七〃-Aan+1+an=一2〃，即-△"〃+]=一2"，即.・.％i=2%+2",・.・句=1,...02=4=2x2：n3=12=3x22,6f4=32=4x23,精想：％=〃・2吐证明：i)当〃=1时，=1=
11、1x2°;ii)假设n=k时，ak=kx2*°当〃=k+lBLaM=2ak+2k=42*+2*=(*+1)・2“心结论也成立。・・・由i)、ii)可知,an=n-2/,-1o(3)b[C；+"匕+・・•+¥；：=%，即bxC+b2C^+...+b〃C：：=〃•2"^,•.•1C*+2C：+3C：+•••+〃C；=〃(C?T+C：_]+C"+•・•+C；T)=〃•2”t,.••存在等差数列｛如｝，如=〃,使得砂：+必：+......+CC'；=%顶一切自然
