例谈中考数学压轴题的解题策略.doc

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1、例谈二次函数问题的解题策略题目：如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(-1,0)、B(0,)、O(0,0).将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O.-1B'A'yxPOBA(1)如图，一抛物线经过点A、B、B′,求该抛物线的解析式；(2)设点P是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值。参考答案：（略）这是一道以平面直角坐标系为背景，三角板的旋转变换为载体的中考数学压轴题，它巧妙地将二次函数图像上的一动点与四边形融合在一起，使试题呈现“动态”，而充满生机。问题的设置由浅入深，梯度明显

2、。不同的考生都得到个性化的考查和能力发挥，充分体现了新课程理念。从分析与解答过程看，在中考数学压轴题上要有所突破，我认为应该重视以下解题策略：一、灵活选用待定系数法求抛物线解析式抛物线解析式有三种基本形式，要根据抛物线的位置特点、一些特殊点的坐标等不同条件而灵活选用。一般地，若已知抛物线上任意三个点的坐标，则抛物线解析式通常设为一般式y=a+bχ+c；若已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，则一般设为顶点式y=a(χ-h)2+k；若已知抛物线与χ轴的交点坐标或抛物线与χ轴的交点到对称轴的距离，则通常设为交点式y=a(χ-)(χ-)。设出恰当的解析式，会为列方程（

3、组）并为解方程（组）带来方便。如第(1)问中，当求出B′(,0)时，等于已知抛物线与χ轴的两个交点为A(-1,0)、B′(,0)，可设抛物线解析式为y=a(χ+1)(χ-)(a≠0)，把B(0,)代入，得方程-a=，a=-1。解一元一次方程比设为一般式从而解三元一次方程组要方便快捷得多，且不易出错。二、用代数式巧设点的坐标或几何图形中相关线段的长用代数式巧设点的坐标往往是解题的关键。函数解析式主要反应了自变量与函数之间的对应变化规律，利用这种变化关系可以巧妙地设置函数图像上点的坐标。如第(2)问中，设P点横坐标为χ时；又P点在抛物线y=-+(-1)χ+上，所以

4、P点纵坐标可表示为-+(-1)χ+。这种巧设点的坐标的方法，为下一步求四边形面积用代数方法创造了契机，为解决难点找到了突破口。一般地，正比例函数y=kχ图像上的点，可设为(χ，kχ)；一次函数y=kχ+b图像上的点，可设为(χ，kχ+b)；反比例函数y=图像上的点，可设为(χ，)；二次函数y=a+bχ+c图像上的点,可设为(χ，a+bχ+c)。此外，几何图形中相关线段的长、特殊函数值等，如果用代数式表示，就会为建立方程(组)或函数模型创造有利条件。这种用字母表示数的方法，是近几年来中考压轴题中的常考内容，它常与点的坐标的几何意义紧密结合在一起，成为解决中考数学

5、压轴题的关键点，因此在中考复习中应当受到高度重视。三、把握点的坐标的几何意义函数图像上点的坐标不仅满足函数解析式，而且还具有特定的几何意义：点的横坐标绝对值表示该点到y轴的距离，点的纵坐标绝对值表示该点到χ轴的距离。即根据点的坐标可以确定图像(或几何图形)中相关线段的长度，实现从“数”到“形”的转化，这一转化为解题创造了有利条件。如第(2)问中，当设第一象限内抛物线上一动点P的坐标为(χ，-+(-1)χ+)时，△POB的边OB上的高可用P点的横坐标χ表示,△POB′的边OB′上的高可用P点的纵坐标-+(-1)χ+表示。有了这一灵活转化，△POB和△POB′的面

6、积就能分别用代数式表示出来。只有把点的坐标转化为相关线段的长度，后面问题的解决才能顺利进行。四、建好函数模型，用好函数性质每当遇到求最大值或最小值的时候，一定要学会建立恰当的函数模型，用好函数性质。构建函数模型常用的方法有：面积法、勾股法、相似法等。如第(2)问中，根据三角形的面积公式构建二次函数：S=++[-+(-1)χ+]，应用二次函数的最值即可解决问题。可见，建好恰当的函数模型，用好函数性质，在解答压轴题时显得至关重要。五、重视对平面几何图形性质的复习能否熟练地解答二次函数综合题，在很大程度上取决于对平面几何图形性质的掌握。那么，与二次函数最容易结合的平

7、面几何图形有哪些呢？平行线、三角形、四边形、圆等。命题者常将它们与抛物线上的点或动点联系起来设置难点，只有熟练地掌握了这些图形的相关性质，才能使问题得到成功的解决。那么，平面几何图形的性质中使用率较高有哪些呢?如“勾股定理”、三角形和相似三角形的性质、特殊四边形的性质等。勾股定理主要用来求两点间的距离、构造方程或者判断三角形的形状；相似三角形的性质主要用来求线段的长、构造方程或者建立函数模型；特殊四边形的性质也不例外。所以在中考复习中，这些都是重点复习的对象。中考数学压轴题以“动态”题型居多，如有线段的位似变换、直线的旋转与平移，有三角形的旋转、抛物线上一动点

8、以及简单图形的折叠等，这些动态因素的融