60数学与应用数学专业《近世代数》

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1、《近世代数》学位考试大纲教材：《近世代数基础》，张禾瑞编，人民教育出版社，1978年修订本总体要求考生应理解《近世代数》中群、循环群、n阶对称群、变换群、陪集、子群、不变子群的定义及其性质；了解环、域、理想、唯一分解环的定义；能够计算群的元素阶、n阶对称群中元素间的运算，环中单位元、可逆元、零因子、素元，多项式环中元素间的运算；会求理想的生成元；掌握子群、不变子群和子环的判别方法；掌握和利用群、环同态和同构基本定理；掌握最大理想的判别方法；理解唯一分解环的判别方法。应注意各部分知识结构及知识间的内在联系，应有抽象思维、逻辑推理、准确运算等能力。内容1、基本概念1.1知识范围1

2、.集合映射一一映射代数运算结合律交换律分配律2.同态同构自同构3.等价关系和分类1.2、要求1.理解集合，映射，结合律，交换律，分配律等概念2.掌握代数运算的概念及其与映射的关系3.掌握同态映射，同构映射和自同构的概念，理解两个具有同构关系的集合之间的关系4.理解关系和等价关系的概念，了解等价关系和分类之间的转换定理2、群2.1、知识范围1.群的定义，单位元，逆元，消去律41.群的同态，循环群，变换群，置换群`2.子群，子群的陪集，不变子群，商群2.1、要求1.掌握群，有限群，无限群，群的阶和变换群的概念2.掌握群中元素阶的定义，会求给定元素的阶3.理解群同态，同构的定义，掌

3、握群同态基本定理及其应用4.掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，会求一些特殊循环群的生成元5.理解置换与置换群的定义性质，有限群与置换群的同构关系，会求相应的运算6.掌握陪集，不变子群的定义，了解子群与陪集之间的映射关系，掌握子群、不变子群的判别方法7.理解商群的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质3、环与域3.1、知识范围1.加群，环的定义，交换律，单位元，零因子，整环，除环，域2.无零因子环的特征，子环，环的同态，多项式环3.理想，剩余类环，商域3.2、要求1.掌握加群的定义，熟悉环的定义，环中的计算规则2.掌握环中单位元、可逆元和零因

4、子的定义，会求相应的元素3.掌握整环的概念及其判别4.理解交换环、子除环的概念5.掌握子环的定义与判别法6.掌握理想和主理想的定义、运算和判别7.掌握剩余类环、多项式环的构成与运算8.掌握环基本同态定理及其性质、应用9.理解什么是最大理想，掌握最大理想的判别法10.了解商域的构成44、整环里的因子分解4.1、知识范围1.素元，唯一分解环，主理想环2.多项式环的因子分解，因子分解与多项式的根4.2、要求1.掌握整除、素元和不可约元2.掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一解3.理解判别唯一分解环的方法4.理解主理想环的概念，了解本原多项式的性质和本原多项式的唯一分解性试

5、卷结构试卷总分100分考试时间120分钟试卷题型比例填空题约30%选择题约15%计算题约15%证明题约40%试卷难易比例容易题约30%中等难度题约50%较难题约20%附录样卷例题一、选择题（从下列备选答案中选择正确答案）例设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（A）构成群。(A)aob=a+b-2(B)aob=a b(C)aob=2 a+3 b（“ ”为数的乘法）二、填空题例设是12阶循环群，则的生成元集合为．三、计算题例设有置换，。求和；解：，；4四、证明题例　在整数环上的一元多项式环中，证明：不是主理想．证明：因为一元多项式环是有单位元的交换环，所以即是由中常数项为偶数

6、的多项式所组成。若是主理想，则存在，使；于是，　．　　　也就是，，其中。因此，根据上式可知。再由，得。于是矛盾。因此，不是主理想。　　　　　　　　　4