双曲线定义的应用

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1、双曲线定义的应用GZC要点·疑点·考点1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线(2)双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离比是常数e(e＞1)的点的轨迹叫做双曲线2．双曲线标准方程的两种形式x2/a2-y2/b2=1,-x2/b2+y2/a2=1(a、b＞0)分别表示中心在原点、焦点在x轴、y轴上的双曲线4．双曲线的焦半径公式(1)双曲线x2/a2-y2/b2=1上一点P(x0，y0)的左焦半径为

4、

5、PF1

6、=

7、ex0+a

8、；右焦半径为

9、PF2

10、=

11、ex0-a

12、(2)双曲线-x2/b2+y2/a2=1上一点P(x0,y0)的下焦半径为

13、PF1

14、=

15、ey0+a

16、，上焦半径为

17、PF2

18、=

19、ey0-a

20、3．双曲线的几何性质：以x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶点是(±a,0)(4)离心率e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为y=±bx/a，准线方程是x=±a2/c5．双曲线x2/a2

21、-y2/b2=1的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0；双曲线x2/a2-y2/b2=1的共轭双曲线为x2/a2-y2/b2=-1.课前热身1.已知F1(-3，0)，F2(3，0)，满足条件｜PF1｜-｜PF2｜=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支，有下列数据：①2；②-1；③4；④-3.则m可以是()(A)①②(B)①③(C)①②④(D)②④A2.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，｜O1O2｜=4,动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是()A椭圆B抛物线C双曲线D双曲线的一支D3.

22、证明：双曲线上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值。4.设等轴双曲线x2-y2=a2的中心为O，两个焦点分别为F1、F2。若P为双曲线上任意一点，求证：

23、PF1

24、、

25、PO

26、、

27、PF2

28、成等比数列。xyOlF例1：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2

29、b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线xyoFlMF′l′点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线相应于下焦点F′(-

30、c,0)的是下准线F′C思考题：已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.若双曲线上有一点Ｐ，且

31、ＰF1

32、=10,则

33、ＰF2

34、=_________4或16例2。(满分4分)给出问题：F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由

35、

36、PF1

37、－

38、PF2

39、

40、＝8，即

41、9－

42、PF2

43、

44、＝8，得

45、PF2

46、＝1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的

47、解题依据填在下面横线上，若不正确，将正确结果填在下面横线上.答案：该学生回答不正确，应为

48、PF2

49、＝17解：易知P与F1在y轴的同侧，

50、PF2

51、－

52、PF1

53、＝2a，∴

54、PF2

55、＝17.解析：本小题主要考查双曲线的概念与性质等基础知识，以及考生分析问题的能力和思维的深刻性．因为双曲线上的点到焦点的最短距离为双曲线顶点到对应焦点的距离，即c－a，所以

56、PF2

57、≥6－4＝2.故

58、PF2

59、＝1应该舍去．答案：

60、PF2

61、＝17二、双曲线第一定义的应用靠近点C的一支靠近点C的一支,且A、B、C三点不能共线F1F2PQO1右准线

62、L三、双曲线第二定义的应用GHD拓展F1F2四、双曲线第一、二定义合用PPF1F2APPF1F2A第46讲│要点探究要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究第46讲│要点探究[例1]已知定点A(0,7)、B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦