非奇异M-矩阵及其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值下界估计-论文.pdf

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1、第30卷第6期贵州大学学报(自然科学版)Vo1．30No．62013年l2月JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)Dec．2013文章编号1000—5269(2013)06一OOO6—03非奇异一矩阵及其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值下界估计王辉宇(北京现代职业技术学院，北京101300)摘要：给出了非奇异一矩阵的逆矩阵和一矩阵的Hadamard积的最小特征值下界新的估计式，改进了已有的相关结果。这些估计式都只依赖于矩阵的元素，易于计算。关键词：M一矩阵；Hadamard积；最小特征值中图分类号：0151．21文献标识码

2、：A一矩阵不仅是计算数学和矩阵理论的重要研1988年，Fiedler和Markham在文献[2]中得究课题之一，而且在生物学、物理学、经济数学等诸出结论：如果A和B都是一矩阵，则A。也是多领域有着重要的实用价值。矩阵Hadamard积是M一矩阵，同时给出A。A的最小特征值7(A。A)特殊的矩阵乘积，它被广泛地应用于概率论中特征下界的估计式：函数和偏微分方程中的弱极小原理等方面的研究。(A。A)≥一1，受这些应用背景的影响，最近，许多专家和学者对非奇异一矩阵Hadamard积的最小特征值界进行同时给出一个猜想：T(A。A)≥。文献[7]证了广泛探讨，并给出了一些很好的估计式¨J

3、。明了上述猜想是正确的。本文继续这个问题的研究，给出了非奇异一矩阵文中引进下述记号：设A=(口)∈C，i，，A及其逆矩阵A的Hadamard积的最小特征值k∈N，i≠，丁(A。A)下界新的估计式，在一定条件下新的估计式比现有估计式([2，5，6])更加精确。A=I口小l，1符号与引理I‘，C(R)表示n阶全体复(实)方阵的集一∑合，J7v表示正整数集合。设A=(n)，A≥0(A>0)表示A为非负(正)矩阵，(A)表示A的谱，II+∑1lrl—●——P(A)表示A的谱半径。，设A=(0)∈R，且0≤0，i≠，贝0称A+∑Jl为z矩阵，记A∈Z。设A∈Z，则可表示为—，∞=max

4、{}，眚J‘A=sI一，其中≥0，当s≥p(A)时，则称A为一矩阵；当s>．D(A)时，则称A为非奇异矩阵，+∑labia一—记A∈M。设A∈Z，记z(A)=min{IA1：A∈tji一，’／；i一％aix{f‘}。IT(A)}，(A)称为的最小特征值。引理1设A=a)∈R⋯，若A是严格对角设A=(口i)∈C“，B=(b)∈Ca，用A。B表占优矩阵，则A～=(b)满足示A和的对应元素相乘而成的矩阵，即A。B=IbjiI≤d『l6“l，，i∈N，_『≠i。(aijb)∈C，称A。B为A和的Hadamard积。引理2若A是双随机矩阵，则Are=e，Ae=收稿日期：2013—09～

5、01基金项目：国家自然科学基金项目(71161020)作者简介：王辉宇(1978一)，男，北京市人，讲师，硕士，研究方向：数值代数研究，Emait：wanghuiyu888@163．conl$通讯作者：王辉宇，Email：wanghuiyu888@163．com．第6期王辉宇：非奇异一矩阵及其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值下界估计·7·e，其中e=(1，⋯，1)ToJ，i∈N，J≠i。引理3设A=(a／j)∈C⋯，若l，2，⋯，是即正实数，则的所有特征值都位于复平面的下列区I+∑Il()域之中≤——}r__一％，∈c如荟吉f∈Ⅳ)。J，i∈N，-『≠i。令一0，可得引

6、理4设A=(n)∈R“是严格对角占优一矩阵，A～=(，)满足II+∑1I1≤—卜a，i∈N，J≠i。Otii≥，∈Ⅳ。1l注：因为≤r，_『，i∈N，J≠，故定理1改进了文2主要结论献[6]的引理2．2及文献[7]的引理2．2。定理1设A=(口)ER是严格对角占优矩定理2设A=(口)∈R““，若A是非奇异一矩阵，则A～=(Ol)满足阵且A～=(Ot)是双随机矩阵，则1+∑lajklo"％。≤——，∈Ⅳ，≠i。证明由r，的表达式知证明由引理2知0≤≤r<1，，i∈N，_『≠i。对任意的=∑laI+1=∑la~,l+1，≠≠ii∈N，令+∑=1，i∈ⅣoJ{南)，可见，A是严格对

7、角占优一矩阵。对任意的iEⅣ，由定理1得+∑ri(占)+占1：％+∑(占)=—_，∈Ⅳ，j≠io+∑+—％因为A是严格对角占优矩阵，则一定存在正数>0，使得=(1+∑)，0<(8)≤()<1，，i∈J7、r，_，≠i。即令X(占)=diag(l(占)，⋯，i—1．i(8)，1，≥。+1．()，⋯，())，i∈N。下面证明AXi()是严格对角占优M一矩阵。定理3设=()∈，A～=()是双随机事实上，对任意，i∈N，_『≠i，矩阵，则+∑la~klri()(AoA-~(占)=—卜，。璃【所以+∑I~lc,(