（新课标）高考数学复习第六章数列第35讲数列的综合应用导学案新人教A版.docx

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1、第35讲　数列的综合应用【课程要求】1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题．2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．对应学生用书p94【基础检测】1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1

2、＝5M，则i＝(　　)A．6B．5C．4D．7[解析]由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，则解得a1＝，d＝，∴该金杖的总重量M＝10×＋×＝15，∵48ai＝5M，∴48＝75，即39＋6i＝75，解得i＝6.[答案]A2．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　)A．6B．7C．8D．9[解析]由题意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，－2；b，a

3、，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.∴或解得或∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.[答案]D3．设y＝f是一次函数，若f＝1，且f，f，f成等比数列，则f＋f＋…＋f＝________.[解析]由题意可设f＝kx＋1，则＝，解得k＝2，f＋f＋…＋f＝＋＋…＋＝2n2＋3n.[答案]2n2＋3n4．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还(　　)A.万元B.万元C.万元D.万元[解析]设每年应还x万元，则x＋x＋x＋…＋x＝M，＝M，得x＝.[答案

4、]B【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．2．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原

5、——将所求结果还原到原实际问题中．3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．对应学生用书p95等差、等比数列的综合问题例1　已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式

6、；(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0.因为q≠1，所以q＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝.(2)由题意得bn＝·3n＝·，Tn＝·＝.[小结]等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项

7、需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令cn＝，问是否存在正整数m，k(1