2016高考数学专题复习导练测 第六章 第5讲 数列的综合应用 理 新人教a版

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1、第5讲数列的综合应用一、选择题1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是(　　)．A．a1＋a3≥2a2B．a＋a≥2aC．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2解析　设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a.答案　B2．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是(　　)．A．9B．10C．11D．12解析　因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所

2、以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值是11.答案　C3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)．A．5年B．6年C．7年D．8年解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案　C4．在等差数列{

3、an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝(　　)．A．7B．8C．9D．10解析　设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，所以n<，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案　C5．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)．A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)解析　由题

4、意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.答案　A6．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　)A．1－B．1－C.D.解析　an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1＝＝.答案　C二、填空题7．设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．解析　由x2－x＜

5、2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.∴S100＝＝10100.答案　101008．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.解析　赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2.答案　29．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值为________．解析　由y′＝(n＋1)xn(x∈N*)，所以在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，故切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0得xn＝，所以

6、a1＋a2＋a3＋…＋a99＝lgx1＋lgx2＋…＋lgx99＝lg(x1·x2·…·x99)＝lg××…×＝lg＝－2.答案　－210．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；④若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析　依题意，将

7、数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于＝.对于①，注意到21＝<24<＝28，因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．对于②、③，设bn为②、③中的数列的通项，则bn＝＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×＝，因此②不正确，③正确．对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于＝10，因此满足条件的ak应是第