2019版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第35讲 等差、等比数列综合应用学案 理.doc

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1、第35讲　等差、等比数列综合应用考试要求　1.等差、等比数列(C级要求)；2.高考中可能重点关注等差、等比数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的相互转化，以及基本量、性质的运用.诊断自测1.(2018·苏州月考)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为________.解析　设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.答案　22.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a

2、3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为________.解析　等差数列中a1＝1，根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.答案　－243.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.解析　由题意得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差

3、数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.答案　－4.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若1

4、an＞0，4(n＋1)a－na＝0，设数列{bn}满足bn＝.(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值；(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8aSn－an2＝16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.(1)证明　数列{an}满足an＞0，4(n＋1)a－na＝0，∴2an＝an＋1，即＝2，∴数列是以a1为首项，以2为公比的等比数列.(2)解　由(1)可得＝a1×2n－1，∴a＝na·4n－1，∵bn＝，∴b1＝，b2＝，b3＝，∵数列{bn}是等差数列，∴2×＝＋，∴＝a＋，化为16

5、t＝t2＋48，解得t＝12或4.当t＝4时，bn＝，bn＋1－bn＝－＝为常数.∴数列{bn}是等差数列，符合题意；当t＝12时，bn＝，b2＋b4＝＋＝a，2b3＝2×＝，∴b2＋b4≠2b3，∴数列{bn}不是等差数列.t＝12不符合题意，应舍去，综上，t＝4.(3)解　由(2)知t＝4时，bn＝＝，Sn＝，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8aSn－an2＝16bm成立，∴8a×－an2＝16×，∴na＝4m，∴a1＝2.∵a1为正整数，∴＝k，k∈N*.∴满足条件的所有整数a1的值为.规律方法　等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解

6、目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.【训练1】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.(1)解　设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由a10＝30，

7、a20＝50得方程组解得所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)证明　由(1)得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，所以＝＝4.所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列.(3)解　由nbn＝n×4n，得Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，①4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，②①－②得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1.所以Tn＝.考点二　数列与函数的综合问题【例2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′