2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_1_4两条直线的交点学案北师大版必修2.docx

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1、1．4　两条直线的交点　一般地，如果两条不重合的直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.要判断它们是否平行，即看它们的斜率是否相等．如果不等，则两直线相交，问题就转化成二元一次方程组求解的问题．两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线l1和l2的交点．因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解．1．若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P

2、的坐标应满足什么关系？[答案]　A1x0＋B1y0＋C1＝0且A2x0＋B2y0＋C2＝0.2．已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？[答案]　只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．题型一两直线的交点问题【典例1】　已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．[思路导引]　求出交点坐标，第四象限横坐标大于零、纵坐标小于零．[解析]　由得由得∴－

3、　　　　　　　　　　　　　　　　解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．[针对训练1]　若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)A．k>－B．k<2C．－2[解析]　由得由得∴－

4、线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故3k×＋4×＝5，解得k＝1或k＝－.解法二：过直线x－2y－1＝0与2x＋ky－3＝0的交点的直线可设为(x－2y－1)＋λ(2x＋ky－3)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(kλ－2)y－(1＋3λ)＝0.由题设三条直线交于一点知存在λ使该直线与直线3kx＋4y－5＝0重合，即＝＝，解得λ＝－2，k＝1或λ＝－，k＝－.所以k的值为1或－.证三线共点或据三线共点求系数值，一般是先求两条直线的交点，再将该点的坐标代入第三条直线的方程，得证或求出．[针对训练2]　三条直线x＋y＝2，x－y＝0，x＋ay＝3能围成三角形，求a的取值范围

5、．[解]　当x＋y＝2与x＋ay＝3平行时，1·a－1×1＝0，即a＝1.当x－y＝0与x＋ay＝3平行时，1·a－(－1)·1＝0，即a＝－1.两直线x＋y＝2与x－y＝0必相交，由得两直线交于(1,1)点．当x＋ay＝3过(1,1)点时，a＝2.∴三条直线围成三角形时，a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2)∪(2，＋∞).题型三求过两条直线交点的直线方程【典例3】　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．[思路导引]　解法一：可先求出两直线的交点坐标，利用点斜式求直线的方程；解法二：可利用过两条直线交点的直线系方程求

6、解．[解]　解法一：解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋＝－3，即15x＋5y＋16＝0.解法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有得λ＝.代入(*)式，得x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0.[引申探究]　本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．[解]　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求

7、直线与直线3x＋y－1＝0垂直，3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．[针对训练3]　直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则