2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步11.4两两条直线的交点学案北师大版必修2

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1、1.4　两条直线的交点学习目标核心素养1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点)1.通过学习解方程组的方法求两直线交点坐标培养数学运算素养.2.通过理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系提升数学抽象素养.两直线的交点已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则.(2)若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0)．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解．思考：

2、两条直线的交点同时满足这两条直线吗？提示：满足．1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　)A．(3,2)　　　　　　　B．(2,3)C．(－2，－3)D．(－3，－2)B　[解方程组得故两条直线的交点坐标为(2,3)．]2．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．a≠2　[由题意得6a－12≠0，即a≠2.]3．直线y＝kx＋3过直线2x－y＋1＝0与y＝x＋5的交点，则k的值为________．　[由得交点(4,9)，代入y＝kx＋3得

3、9＝4k＋3，∴k＝.]两直线的交点问题【例1】　判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.[解]　(1)解方程组得所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．(2)解方程组①×2得4x－6y＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公共点，l1∥l2.解答本题充分利

4、用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.1．直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值．[解]　解方程组得∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0，得－2a＋4＋8＝0，∴a＝6.过两直线交点的直线方程【例2】　求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程．[解]　法一：由得又所求直线与直线5x－y＋3＝0平行，所以

5、斜率k＝5，由点斜式得y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.法二：设所求直线方程为3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0.∵直线与5x－y＋3＝0平行，∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝，∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，即5x－y－3＝0.经过两直线交点的直线系方程：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线

6、系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数).当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．[解]　法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,

7、0)代入上式解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.直线恒过定点问题[探究问题]1．不论k取什么值，直线y＝kx＋2恒过定点，试求出此定点．提示：由直线的方程可知当x＝0时y＝2，此时与k的取值无关．故直线恒过点(0,2)．2．不论m取什么值：直线y－2＝m(x＋3)恒过定点．求出此定点．提示：由直线方程可知当x＝－3时y＝2与m的取值无关故直线恒过定点(－3,2)．【例3】　求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．[解]　法一：　当k＝1时，直线方程为x＝1.当k＝0时，直线方程为x＋y＝

8、0.由得交点P(1，－1)，将P(1，－1)代入原方程左边得k＋1－(k－1)×