解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点学案北师大版必修2

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1、1.4　两条直线的交点1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系.(难点)[基础·初探]教材整理　两条直线的交点阅读教材P72“练习”以下至P73“例13”以上部分，完成下列问题.已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.1.若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则.2.若两直线方程组成的方程组有唯一解则两条直线相交，交点坐标为(x0，y0).因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线不相交

2、就平行.(　　)(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(　　)(3)两直线平行，则由两直线方程组成的方程组无解.(　　)(4)若两直线重合，则由两直线方程组成的方程组有无数组解.(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√[小组合作型]两直线的交点问题　直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值.【精彩点拨】　解答本题可先解出两已知直线的交点坐标，然后代入ax＋2y＋8＝0，求出a的值.【自主解答】　解方程组得6∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为(－

3、2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0，得－2a＋4＋8＝0，∴a＝6.解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.[再练一题]1.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在直线y＝－x上，那么k的值是(　　)A.－4B.3　　　C.3或－4　D.±4【解析】　法一：由两条直线相交，得k≠－，联立得即两直线的交点为.又该交点在直线y＝－x上，所以＝－，解得k＝3或k＝－4，故选C.法二：联立得依题意，点(－k，k)在直线x－ky＋12＝0上，

4、所以－k－k2＋12＝0，解得k＝3或－4.【答案】　C过两条直线交点的直线方程　求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程.【导学号：39292087】【精彩点拨】　方法一：求出两直线3x＋2y－7＝0和x－y＋1＝0的交点坐标，由平行关系得到l的斜率，利用点斜式方程求解.方法二：利用过相交直线交点的直线系方程设出所求出方程，利用平行关系求解.【自主解答】　法一：由得又所求直线与直线5x－y＋3＝0平行，所以斜率k＝5，由点斜式得y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.法二：设所求直线方程为3

5、x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0.∵直线与5x－y＋3＝0平行，6∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝，∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，即5x－y－3＝0.1.本题的方法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键.2.经过两直线交点的直线系方程：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B

6、1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数).当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.[再练一题]2.求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.【解】　法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式

7、解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.[探究共研型]两直线交点的综合应用探究1　已知点P(－1,0)，Q(1,0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，试确定b的取值范围.【提示】　点P，Q所在直线的方程为y＝0，由得交点，由－1≤6≤1，得－2≤b≤2.探究2　尝试用两种方法证明：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.【提示】　法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0，解方程组得两直线的交

8、点为(2，－3).将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m