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1、《高等数学》习题参考资料第四篇常微分方程第十章常微分方程§1常微分方程的概念习题1．指出下列各题中的函数（或隐函数）是否为所给微分方程的解：（1）xy′=2y，y=5x；（2）y′′+4y=0，y=6sin2x−2cos2x；x（3）y′′−2y′+y=0，y=3xe+x；222x（4）(2xy−y)dx+(y+x+y)dy=0，x+y−+lny=0；y【解】(1)否;(2)是;(3)是;(4)是.2．验证下列函数是所给微分方程的特解：⎧y′−2xy=x3x21（1）⎨，y=e−；⎩y(0)=122⎧⎪y′′−3y′+2y=5x72x5（2）⎨，
2、y=−5e+e+。⎪⎩y=1,y′=222x=0x=0【解】(1)是;(2)是.§2一阶常微分方程习题1.曲线yfx=()经过点(e,−1)，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。1【答案】1.y'=,1y(e)=−.y2.已知曲线yfx=()在任意一点x处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少1，⑴求出该曲线方程的所有可能的形式，并在直角坐标系中画出示意图。⑵若已知该曲线经过(,)11点，求该曲线的方程.44335【解】y'=3x−1.(1)y=x3−x+c;(2)y=x3−x+.4441983.求下列微分方程的通解：dy22d
3、y3⑴x=ylny;⑵(y+1)+x=0;dxdxdydy2dy⑶=x+a(y+);⑷sinxcosydx+sinycosxdy=0;dxdxdx22dyx+y⑸secxtanydx+secytanxdy=0;⑹=2;dx2dy1−yx+yxx+yy⑺=;⑻(e−e)dx+(e+e)dy=0;dx21−x−xdy−y⑼cosydx+(1+e)sinydy=0；⑽(x+1)+1=esinx。dx341(y+1)x【答案】(1)lny=−;(2)+=c;(3)y(c−aln(1+x+a)=1;lnx+c34x−y(4)cosxcosy=c;(5)ta
4、nxtany=c;(6)2;+2=cxy(7)arctanx−arctany=c,y=±1；（8）(e+1)(e−1)=c，0y=；xysinx+c（9）secy(1+e)=c；（10）e=−cosx。1+x4.求下列微分方程的解：dy2x+y⑴=e，y(0)=0;⑵xdy+2ydx=0;1y(1)=dx−xπ⑶cosydx+(1+e)sinydy=0，y(0)=;4π⑷sinxcosydx+sinycosxdy=0，y(0)=。41992x−y2【答案】（1）0e−3+2e=；（2）xy=1；（3）x2(1+e)secy=22；（4）cosxc
5、osy=.25.镭的衰变速度与它的现存量成正比，设t时有镭Q克，经1600年它的量减少了00一半，求镭的衰变规律。ln2dQln2−(t−t0)【解】5．=−kQ，k=，Q(t)=Qe1600.0dt16006.将A物质转化为B物质的化学反应速度与B物质的浓度成反比，设反应开始时有B物质20%，半小时后有B物质25%，求B物质的浓度的变化规律。291【答案】.u=t+.200257.核反应堆中，t时刻中子的增加速度与当时的数量Nt()成正比。设NN()0=，0证明tt⎛N(t)⎞1⎛N(t)⎞2⎜2⎟=⎜1⎟。⎜N⎟⎜N⎟⎝0⎠⎝0⎠【解】方程的
6、解是N(t)=Nekti,i=1,2,消去k即得.i0338.一个1000米的大厅中的空气内含有a%的废气，现以1米／分钟注入新鲜空气，混合后的空气又以同样的速率排出，求t时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度减少一半所需的时间。【解】设大厅中的空气内含有废气量x(t),浓度ρ(t),于是在t到t+dt时刻内废气的x(t)减少量−dx,它等于排出的废气量ρ(t)dt×1=ρ(t)dt.而ρ(t)=,于是Vtx(t)dtdxdt−−dx=,=−,解得x(t)=Ce1000,x(0)=1000a,C=1000a,Vx(t)1000tT−−x(t)=
7、1000ae1000,500a=1000ae1000,T=1000ln2(分).9.设[t,t+dt]中的人口增长量与p−pt()成正比，试导出相应的人口模型，画出max人口变化情况的草图并与Malthus和Verhulst人口模型加以比较。dppM−p0【解】=k(p−p)，p=p−.MMdt(p−p)kt+1M020010.半径为1米，高为2米的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为1厘米的塞子后水开始流出，试导出水面高度h随时间变化的规律，并求水完全流空所需的时间（水面比出水口高h时，出水速度v=2gh。）2dhr【解】.=2gh，
8、h(0)=H=200cm，R=100cm,r=1cm，解得2dtR222hRR2t+c=−,代入数据和初值得t=()H−h,h=0,则2
