2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案.doc

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1、2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望。2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为。3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为。4．已知实数，，满足，则的最小值为。5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和。6．如图，在四面体中，

2、，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径。7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是。8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为。9．已知，若，则的取值范围为。10．若，则正整数的最小值为。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．求函数的最小值。12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。（1）求的取值范围；（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。（1）求证：；（2）若为中点，求证：。（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一

3、个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。15．若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望。

4、【答案】5【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。易得，的概率分布列为014916∴。2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为。【答案】9【解答】依题意，有。∵在区间上的最大值为1，∴在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为。【答案】【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。∴，。，，。4．已知实数，，满足，则的最小值为。【答案】【解答】由柯西不等式，知。∴，当且仅当，即时等号成立。∴的最小值

5、为。5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和。【答案】【解答】依题意，有。∴。6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径。【答案】【解答】如图，作于，连结，并延长交于点，连结。则是与平面所成的角，。∵，，，∴，为的外心，且。∴，为中点，结合知，，。∴，。∴、、两两互相垂直，四面体外接球半径。7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是。【答案】【解答】设，（为虚数单位），∵，，∴，，。设复数对应的点为。由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。又，因此，，即的取值范围是。8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范

6、围为。【答案】【解答】。依题意，有两个不同的实根。设，则，有两个不同的实根。若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。若，则当时，；时，。∴在区间上为增函数，上为减函数。∴的最大值为。又时，；时，。∴当且仅当，即时，恰有2个不同的实根。设的两根为，（）。则时，，；时，，；时，，。∴为的极小值点，为的极大值点。符合要求。∴的取值范围为。9．已知，若，则的取值范围为。【答案】【解答】设，则。∴。∴，。由知，方程的解集是方程的解集的子集。若，则，。若，设，则，得。又时，，所以，。的取值范围是。10．若，则正整数的最小值为。【答案】4【解答】由，，知。∴，，……………上述各式左

7、右两边分别相加，得。∴，。∴，（），（）。∴正整数的最小值为4。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．求函数的最小值。【解答一】由，得或。∴函数的定义域为。………………………5分记，则当时，易知。在上为增函数。∴时，的最小值为。…………………………10分当时，。∴在上为减函数，时，的最小值为。………15分综合得，函数的最小值为1。………………20分【解答二】函数化为。由，知，可设（，且）…………………………5分当时，，当，即时，取最小值3。………………………10分当时，，当，即时，取最小值1