推导本原同余数公式.pdf

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1、第24卷第4期长春师范学院学报（自然科学版）2005年10月VOI.24NO.4JOurnaIOfChangChunTeachersCOIIeg（eNaturaIScience）Oct.2005!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!推导本原同余数公式12关永刚，关春河（1.清华大学电机系，北京100084；2.黑龙江省龙江县发达中学，黑龙江161102）［摘要］通过运用初等数论方法，推导出本原同余数公式。［关键词］同余数；整同余数；本原同余数；本原同余数公式；

2、本原同余数函数表［中图分类号］O156.2［文献标识码］A［文章编号］1008-178X（2005）04-0009-03‘同余数问题是现在尚未解决的三大千年数论难题之一。至今，还没有一个公式把所有的同余数都表示出来。’［见文1］那么，什么是同余数？同余数的定义如下：‘定义1：如果直角三角形的三边长X，y，Z都是有理数，那么，它的面积S称为同余数。’［见文2］2221由定义1可知，X>0，y>0，Z>0，X+y=Z，S=Xy，2由于X，y均为有理数，所以S必为有理数。有理数包含整数。因此，当S的取值为正整数n时，我们又给出定义2：定义2：如果正整数n

3、是同余数，那么，n称为整同余数。由定义2可知，‘求解整同余数即为求不定方程组：222X+}=Z{（1）的有理数解（X，y，Z）1X}=I2因为，如果（X，y，Z）是方程组（1）的一个有理数解，那么，对于任意一个m"N，（mX，my，mZ）也是方程组：222X+}=Z{（2）的有理数解。12X}=TI22因此，如果一个A是不含平方因子的整同余数，那么，mA也一定是整同余数。所以，求整同余数问题，也就是要求出所有的A。’［见文1］于是，我们又给出定义3：定义3：如果一个A是不含平方因子的整同余数，则A称为本原同余数。222由定义3可知，如果一个A是本原

4、同余数，那么，A一定对应着一个方程：X+y=Z（3）有有1理数解。同时A还对应着一个直角三角形的面积为整数的A=Xy（4）2研究同余数，只须研究本原同余数就够了。［见文2］因此，能否得出本原同余数A的一般公式，是解决同余数问题的关键所在。经过多年的研究，我们发现如下定理：定理：本原同余数A的一般公式为：［收稿日期］2005-08-27［作者简介］关永刚（1974-），清华大学电机系讲师，博士，从事初等数论研究.·9·pg（p+g）（p+2g）A=2M其中：（p，g）=1，2!p，p，g"N（N为正整数集）且M=a·6·c·i，a，6，c，i"N22

5、22amax#p，6max#g，cmax#p+g，imax#p+2g为讨论方便，把公式记为［G］。证明：22x=r-S（1）、一、若方程（3）中，x，y，Z均为正整数，则x，y，Z的一般表达式为：{y=2rS（5）22z=r+S其中：r>S>0，（S，r）=1，2!r+S，S，r"N（6）［见文3］在此，只需令p=r-S，g=S，即可由（5）推得：22x=p（p+2g），y=2g（p+g），Z=（p+g）+g（7）由（6）推得（p，g）=1，2!p，p，g"N（8）由于A是不含平方因子的正整数，因此，取2222amax#p，6max#g，cmax#

6、p+g，imax#p+2g，再取M=a·6·c·i，于是由（4）、（7）可推得：12pg（p+g）（p+2g）A=xy/M=22MA即可表达为公式［G］。二、若方程（3）中，x，y，Z为分数，不妨设EFGx=，y=，Z=（9）efg其中：（e，E）=1，（f，F）=1，（g，G）=1，e，f，g"N，E，F，G"N（10）由分数运算法则可得gIef（11）efG令X=fE，Y=eF，Z=（12）g222则A对应着方程X+Y=Z（13）有正整数解。由（7）可得X=p（p+2g），Y=2g（p+g），22Z=（p+g）+g（14）于是，由（4）、（9）

7、、（12）、（14）pg（p+g）（p+2g）可推得A=（15）22ef由于A是不含平方因子的正整数，且由（10）知，（e，E）=1，（f，F）=1，所以，eIF，fIE（16）又由（8）知，（p，g）=1，因此，令e=bc，f=ac（17）2222且取amax#p，6max#g，cmax#p+g，imax#p+2g，a，b，c，c"N（18）再取M=a·6·c·i，由（15）、（17）、（18），即可推出公式［G］。综合一、与二、可得，如果一个A是本原同余数，那么，A一定可表达为公式［G］。（2）、反之，由公式［G］表达出的任一个A，由于2222

8、amax#p，6max#g，cmax#p+g，imax#p+2g，且p，g，a，b，c，c"N，所以A不含平方因子，且A"