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1、2002年第5期九江师专学报(自然科学版)总第118期No15,2002JournalofJiujiangTeacherpsCollege(NaturalScience)SumNo1118用数学归纳法推导质心公式张孟忠¹(九江师专物理系江西九江332000)质心是物理学中一个重要概念,它是质点系质量的等效中心,对于平动而言可把整个系统的质量看作集中在质心这点来分析,在一般的物理学课本中,通常直接给出质心的位置矢Emiri量公式rc=,而没有推导过程,给学生理解公式带来一定困难,本文给出一种直观的Emi推导质心公式的方法供参考。1质心位置的确定和满足的条件假如一细棒放在光
2、滑的水平面上,给它一个作用力,它将在平面上边滑动,边转动。如果力作用在某点上,棒将只滑动,而不转动,这一点就是质心位置。对于两个质量为m1,m2的质点,它们的质心必然在两质点连线上,我们假如把一个质量可忽略不计的刚性细杆连接两质点,做上述实验,结果表明质心位置满足m1x1=m2x2x2cx12如图p-------p-------p2c表示质心位置,对于三个质点m1,m2,mmcm122m3组成质点系,它们的质心可以这样来确定,把m1,m2的质量看作集中在它们的质心m2c上,由m2c(m1+m2)和m3组成的质心m3c就是三个质点的质心。如图(一)图(一)¹收稿日期:20
3、02)4)2246如果用质量可以忽略不计的细杆如图(一)连接,敲击m3c处,质点系将产生平动而不转动,实验结果满足m2cx3=m3x4(m1+m2)x3=m3x42、质心公式的推导如图(二)图(二)在直角坐标系中,有n个质点组成的质点系,质点m1,m2,,mn的位置矢量为r1,r2,,rn。设m1,m2两质点的质心在m2c,位矢为r2c,由前面可知存在m1(r2c-r1)=m2(r2-r2c)(m1+m2)r2c=m1r1+m2r2m1r1+m2r2r2c=m1+m2设m1,m2,m3的质心在m3c,位矢为r3c,显然存在:m2c(r3c-r2c)=m3(r3-r3c)
4、(m2c+m3)r3c=m2cr2c+m3r3(m1+m2+m3)r3c=m1r1+m2r2+m3r3m1r1+m2r2+m3r3r3c=m1+m2+m3设(n-1)个质点的质点系的质心满足(m1+m2+,,mn-1)r(n-1)c=m1r1+m2r2+,,mn-1rn-1对于n个质点的质点系的质心,可把前(n-1)个质点的质量看作集中在m(n-1)c上,m(n-1)c=m1+m2+,,+m(n-1),由m(n-1)c与mn组成的质心即为整个系统的质心。显然有m(n-1)c(rnc-r(n-1)c)=mn(rn-rnc)r(m(n-1)c+mn)rnc=m(n-1)c(
5、n-1)c+mnrn(m1+m2+,,+m(n-1)+mn)rnc=m1r1+m2r2,,m(n-1)r(n-1)+mnrnm1r1+m2r2+,,+mnrnEmirirnc==m1+m2+,,+mnEmi公式得证:该推导直观、严密、可验证。参考书:费曼物理学讲义力学与物质的性质[英]m内尔康著,科学出版社。47
