关于某类负系数的单叶函数.pdf

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1、2005年九江学院学报（自然科学版）2005第4期JournaIofjiujiangUniversit（ynaturaIsciences）N0.4关于某类负系数的单叶函数沈霞叶中秋＊（江西师范大学数学系江西南昌330027）＊摘要：本文引入一个新的负系数函数族T（!），0＄!＄1。当!=0时，T（!）为T，即T＊中的星形函数类；当!=1时，T（!）为Tc，即T中的凸函数类。文中笔者研究了T（!）、T及Tc的系数估计，偏差及覆盖定理，凸半径，极值点。关键词：单叶函数；负系数；从属；极值点；星形函数；凸函数中图分类号：0174.51文献标识

2、码：A文章编号：1006-3838（2005）04-0024-（04）1引言I令S表示形如（fZ）=Z+Z"IZ且在D=｛ZZ1｝内单叶解析的函数（fZ）的全体所成的函I=2I数类。T为S的子类，它由形如（fZ）=Z-Z"Z的函数所组成。本文中，我们定义T的一个子族T（!），II=20＄!＄1。并研究该类函数的若干性质。设（fZ）。T，若2Zf（'Z）+!Zf（lZ）1+Z（1.1）!Zf（'Z）+（1-!）（fZ）1-Z则称（fZ）。T（!）。换句话说（fZ）。T（!），当且仅当存在一个函数#（Z），它在D内解析，且满足#（0）=0，

3、#（Z）1，（z。D），使得2Zf（'Z）+!Zf（lZ）1+#（Z）=，z。D（1.2）!Zf（'Z）+（1-!）（fZ）1-#（Z）2（1-!）Zf（'Z）+!Zf（lZ）-（1-!）（fZ）由（1.2）式得#（Z）=，因此条件（1.2）等价于2（1+!）Zf（'Z）+!Zf（lZ）+（1-!）（fZ）2（1-!）Zf（'Z）+!Zf（lZ）-（1-!）（fZ）1（1.3）2（1+!）Zf（'Z）+!Zf（lZ）+（1-!）（fZ）Zf（'Z）1+Z当!=0时，（1.1）式变为（1.4）（fZ）1-Z＊此时，T（0）即为T，也就是T

4、中的星形函数类。当!=1时，（1.1）式变为Zf（lZ）1+Z1+（1.5）f（'Z）1-Z此时T（1）即为Tc，也就是T中的凸函数类。2系数估计I2定理1：若（fZ）=Z-Z"IZ。T（!），则Z（!I-!I+I）"I＄1（2.1）I=2I=2I证明：若（fZ）=Z-Z"IZ。T（!），则由（1.3）式得I=2＊［收稿日期］2005-09-05［作者简介］沈霞，女，硕士研究生，研究方向为基础数学。2OO5年第4期九江学院学报（自然科学版）·25·III!ZI（I-l）"IZ+（l-!）（Z-Z"IZ）-（l-!）（Z-ZI"IZ）I=

5、2I=2I=2ReO，并令X、l-，由［4］中定理3知ZI"I＄l，所以!ZI（I-l）"I+（l-!）（l-I=2I=2Z"I）-（l-!）（l-ZI"I）>O，且（l-!）（l-ZI"I）-!ZI（I-l）"I+（l-!）（l-I=2I=2I=2I=2Z"I）>O。所以!ZI（I-l）"I+（l-!）（l-Z"I）-（l-!）（l-ZI"I）＄（l-!）（lI=2I=2I=2I=2-ZI"I）-!ZI（I-l）

6、"I+（l-!）（l-Z"I）。I=2I=2I=22即Z（!I-!I+I）"I＄l。I=2I＊推论l：若（fZ）=Z-Z"IZ。T，当且仅当ZI"I＄l（2.2）I=2I=2I＊证明：若（fZ）=Z-Z"IZ。TCT（!），则由定理l，只需在（2.l）中令!=O便得（2.2）式。I=2反之，Zf（'Z）-（fZ）-Zf（'Z）+（fZ）=Z-II-ZI"IZ-Z+Z"IZI=2I=2III"-l）＄OZ-ZI"IZ+Z-Z"IZ＄2（ZII=2I=2I=2Zf（'Z）-（fZ）＊即

7、Z）推论l与［4］中定理2（令"=O）完全符合。I2推论2：若（fZ）=Z-Z"IZ。Tc，当且仅当ZI"I＄l。（2.3）I=2I=2I证明：若（fZ）=Z-Z"IZ。TcCT（!），则由定理l，只需在（2.l）中令!=l便得（2.3）式。I=2反之，Zf（"Z）-2f（'Z）+Zf（"Z）=-I-l-ZI（I-l）"ZII=2I-lI-l＄2（ZI2-l）＄O2-Z2I"IZ-ZI（I-l）"IZ"II=2I=2I=2Zf（"Z）即

8、（"Z）3偏差及覆盖定理I定理2：若（fZ）=Z-Z"IZ。T（!），则Z=rI=222rrr-＄（fZ）＄r+（3.l）2（!+l）2（!+l）rrl-＄f（'Z）＄l+（3.2）!+l!+ll2当（fZ