2012年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准(经管类).docx

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1、2012年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准（经管类）一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设，则=6.2.设函数连续且不等于0，又，则.3.半径为R的无盖半球形容器中装满水，然后慢慢地使容器倾斜，则流出的水量V=.4.设函数可微，且,.又设平面区域，则.5.设函数在点处二阶可导，且，则二.选择题（本题15分，每小题3分）:1.设函数有连续的导数，且，，则（D）(A)1,(B)e,(C)(D)2.设函数在点x=0的一个邻域内有定义，且满足，则有（B）(A)在点x=0处不一定可导(B)在点x=0处可导，且(

2、C)在点x=0处可导，且(D)在点x=0处取得极小值1.设连续函数在区间和上的图形分别是直径为1的上半圆周和下班圆周，在区间和上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周。如果，那么非负的范围是（A）(A)整个(B)仅为(C)仅为(D)仅为2.设函数在区间上连续，且.记，，，则（B）(A)(B)(C)(D)3.设在有连续的二阶导数，，，并且满足，则（B）(A)0，(B)1，(C)2，(D)3一.设，n=1,2,…，.求极限。解：由已知4分因此，。7分二.设函数由方程确定，且可导，试求的极值。解：方程两边对x求导2分由

3、于，解得（1）当时，，代入方程：解得，4分这时，。（1）式的两边对x求导由可知在处取得极大值，其极大值为7分一.求积分解令，则3分7分关于的另一解法。令,，则因此，一.设是的一个原函数，且，，求。解:由题设及，得，2分则因，故4分解得因此，，从而7分二.求积分，其中n为正整数解：应用分部积分法2分4分7分一.设曲线C与曲线和的位置如图是曲线上的任意一点，过点P垂直于x轴的直线与曲线和围成的图形记为A，过点P垂直于y轴的直线与曲线和围城的图形记为B。若A和B分别绕y轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线的方程。解：设

4、曲线的方程为，。A和B分别绕y旋转而得到的旋转体体积记为和，则，应用薄壳法3分（或者，用另一种方法：）由题设，对任意的x>0有=，即约去π后，两端对x求导，得，解得5分令，则。因此，曲线的方程为或7分二.假设函数满足且对于，证明存在，且证：根据微积分基本定理由已知且当时，即是增函数，故当时2分所以5分可见单增且有上界，因而存在，且7分一.设函数在区间可导，且，单调增加，证明证令则。求导，得，3分则。再求导，得5分于是，函数在区间单调增加。由，得，即7分二.一个半径为的小球嵌入一个半径为1的球中，二球面的交线恰为一个

5、半径为r的圆（即小球的大圆，如右图）。问当r为何值时，位于小球内，大球外的那部分立体的体积达到最大?解：如图，设小球的球心为，以大球球心为原点，水平方向为x轴，方向为y轴建立直角坐标系。半个小球的体积。大球（单位球）中以为高的球缺体积为因此，位于小球内，大球外的那部分立体的体积为3分5分令，得唯一驻点。而此实际问题的最大值存在，因此，当时，位于小球内，大球外的那部分立体的体积达到最大。7分一.设是以原点和三点（0,1,0），（1,1,1），（0,1,1）为顶点的四面体。（1）将表示为“先z次y后x”的三次积分。（2

6、）试证明解：（1）可表示为故,2分证：（2）设，，则，且4分。7分证法2由已知，空间区域就是图中的四面体。将x与z互换，则变为四面体，记它为。于是记，则就是三棱柱,记为，于是4分可见是整个正方形区域,因此7分