多项式逐点逼近的一个注记-论文.pdf

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1、第34卷第3期天津师范大学学报(自然科学版)Vo1．34No．32014年7月JournalofTianjinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Ju1．2014文章编号：1671—1114(2014)03—0021—03多项式逐点逼近的一个注记杜英芳(天津师范大学生命科学学院，天津300387)摘要：讨论连续函数利用代数多项式的逐点逼近问题．对于Sobolev空间中的函数，利用Legendre多项式的正交性给出了其利用多项式逼近的2个逐点逼近结果．关键词：Sobolev空间；Legendre多项式；正交性；逐点逼近中图分类号：

2、O174．41文献标志码：AAnoteaboutpointwiseapproximationbyalgebraicpolynomialsDUYingfang(CollegeofLifeScience，TianjinNormalUniversity，Tianjin300387，China)Abstract：Thepointwiseapproximationproblemofcontinuousfunctionsbyalgebraicpolynomialsisconsidered．ForthefunctionsintheSobolevspaces，twopointwisea

3、pproximationresultsaregivenbyusingtheorthogonalityofLegendrepolynomials．Keywords：Sobolevspaces；Legendrepolynomials；orthogonality；pointwiseapproximationf¨∈Lz([-1，1]))1引言及主要结果关于利用代数多项式逼近连续函数的逐点逼近利用代数多项式逼近非周期连续函数或光滑函问题，最核心的结果为如下定理．定理At6]设r≥0．厂∈C⋯1，则存在多项式序列数是逼近论研究的关键问题之一．注意到在以往的研．究中，都假设函数本身或

4、其导函数为连续函数，而研p()∈H，使得对于一l≤≤1和n≥r+l，有究方法多使用一些具体的多项式算子，如Jackson算If()一p()I≤c∽，_=盟n)子、Bernstein算子以及插值多项式算子等．而在研究其中：(厂，为．厂的连续性模，兀表示次数不高于n有关非周期Sobolev等空间内的函数逼近问题时，常的代数多项式的集合．用的是一些样条算子和小波算子．考虑到利用正交本文得到：多项式的零点(或增加端点)作为插值节点的插值多定理1)若．厂∈W12([__1，1])，则存在多项式序列项式逼近是多项式逼近研究的主要方法，而在小波及p()∈H，使得对于一1≤≤1和n≥1

5、，有三角多项式逼近的研究中都是以正交展开为基础的_5_，l)一p()I≤ll／ll2(1一X2)、／2／(n1T)本文利用Legendre多项式的正交性考虑非周期Sobolev2)若厂∈22([_1，1])，则存在多项式序列空问内的元素利用代数多项式的逐点逼近问题．．p()∈H，使得对于一1≤≤1，有令(【_1，1】)为【_1，1]上的平方可积函数空间．对I．)一p()l≤任意厂∈L(【_-1，1])，记其范数为／r1ll／2l1．厂”l(1一)、／2／(1+0(1))n一1)Il=【J厂()J其中=O(1)表示liman=0．、J—l，VrEN，记r阶Sobolev空

6、间为注1对任意自然数r，利用本文的方法可以得r2(【__1，1])={厂I_厂㈣绝对连续且到当_厂∈r2(卜1，1】)时相应的估计式．收稿日期：2013—12—02第一作者：杜英芳(1965一)，女，助理研究员，主要从事函数逼近论方面的研究·22·天津师范大学学报(自然科学版)2014年7月注2将定理的结果与定理A的结果相比较．当』J一1聃=一n【n+lJ(9)r=1时，利用定理A结合连续模的定义及Cauchy—Schwarz不等式可得(但不能再改进)由式(8)～式(9)及Q()的定义可得l)一p()I≤If(x)一p()I≤c。IIfl1(1一X2)、／l／2但C0的

7、值很难确定[7j．因此本文定理的结果更实用．∞、，．-z()=2定理的证明ll／lIz(1一X2)·1／2先考虑r=1的情况．令∞(＼2(+12)／⋯⋯)()：‘軎(2—1)(1)由Bernstein不等式[91可知为n次Legendre多项式．由文献[8]可知(1一X2)tf()f≤、／(11)r()()：{f丽2m凡(2)由式(11)及1()I≤1结合[71【0m≠nIP，()l≤旦≤—．=一(12)、／1一x／1一记Q()=、／Pnx)．由式(2)及多项式在可得L：([一1，1])中的稠密性可知{Q()：为[一1，1]上以1为权的标