Picard定理的一个教学注记-论文.pdf

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1、第9卷第2期江西科技学院学报Vo1．9No．22014年6月JOURNALOFJIANGXIUNIVERSITYOFTECHNoLoGYJune．2014Picard定理的一个教学注记刘芝秀，易敏(南昌工程学院理学系，江西南昌330099)摘要：在复变函数教学过程中一般都含有对著名的Picard大定理和小定理的介绍，甚至证明过程，但若未能明确指出Picard大定理与小定理的等价性，学生容易产生Picard小定理不蕴含大定理的错误猜测，这不利于学生对Picard定理以及学科发展的了解，它们其实是同样深刻的等价定理。该文旨在强调这一点，并利用正规族理论中的Zalcman—Pa

2、ng引理证明了Picard大定理和小定理的等价性。关冀词：Picard定理；亚纯函数；正规族；模分布中田分类号：G642文献标识码：A文章墙号：123(2014)02—0045—03ATeachingNoteonPicardTheoremU—(ScienceDepartmentofNanchangInstituteofEngineering,Nanchang,Jiangxi,330099)Abatra~Generally，theintroductionorevenproofonPieard'scelebratedtheoremisincludedinthecomplexf

3、unctionteachingprocess．ButiftheteacherdoesnotexplicitlypointouttheequivalenceofPieardbigtheoremandsmalltheorem，studentsmayeasilyproducewrongguessthatthesmalltheoremdoesnotcontainthebigtheorem．Thisisnotconducivetothestudents’understandingofthePicardtheoremaswellasthedevelopmentofthesubject

4、．Actually，theyarethesameequivalenceefectivetheorem．ThepurposeofthispaperistoemphasizethispointofviewandusetheZalcman-PanglemmaofnormalfamilytheorytoprovetheequivalenceofHeardtheorems．K何words：Picardtheorem；Meromorphicfunction；normalfamily；molddistribution这两个定理在形式上差别甚大，人们分别冠名0引言于Picard“大”定理

5、与“小”定理。同时，也有部分文献笔误为Picard大定理是Picard小定理的推广，是更Picard定理是复分析中著名且深刻的结论，是亚强更深刻的结论。本来又有“大”定理与“小”定理的纯函数值分布方面的代表性结果，是复分析发展的名称之别，这在教学过程中，较容易给学生以错觉，一个重要原动力，证明它们产生了许多思想方法[1_3】。影响教学工作。事实上，这两个定理是完全等价的。因此，大部分复分析方面教材(即使是入门教材)都明确这一点，得益于亚纯函数正规族理论的发对Picard定理进行了介绍。所以，在教学过程中也应展，特别值得一提的是我国数学工作者对正规族理该特别注意对Picar

6、d定理的介绍讲解，应紧随学科论的发展做了较多突出的贡献。正规族理论也有的发展状况。它通常包含两个定理：许多的应用。例如，在模分布中的应用研究就很活Picard小定理：若整函数．)不取两个复值呜6跃【8_1”，下文将利用正规族理论证明著名的Picard大a≠6)，则)为一个常数。．小两定理的等价性，这也正好表明了正规族理论在Picard大定理：解析函数在本性奇点的空心领域亚纯函数值分布中很具有应用价值。更多关于正规内无穷多次地取到每一个有穷复值，至多可能除去族的概念和相关理论可参阅文献，下面仅叙述其中一个例外值。收稿日期：2013—10—15作者简介：刘芝秀(1982一)，

7、女，四川自贡人，南昌工程学院，硕士，讲师。研究方向：复分析及其应用。易敏(1963一)，男，江西余江人，南昌工程学院，副教授。研究方向：应用数学。·46·刘芝秀，易敏：Picard定理的一个教学注记的两个引理。据Hurwitz定理，因为fo(z+tnZ)≠O和fo(z+z)≠1，所以g)≠O和g)≠1，则由Picard小定理得g)=常1引理数，矛盾。2．2．2Montel正规定则证明Picard大定理引理1设{))为区域D内的亚纯函数族，这个设)在。有一个本性奇点，不妨设Z0=0否则考族在D内正规的充要条件是它在D内每点正规。