关于高阶bernoulli多项式和euler多项式的一个注记

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1、---关于高阶Bernoulli多项式和Euler多项式的一个注记陈晓敏1杨军21（成都电子机械高等专科学校信息与计算科学系，四川成都610031）2（西南民族大学计算机科学与技术学院，四川成都,610041）摘要得到了高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的一些新性质．作为其应用，利用矩阵工具还推导出这两类多项式的一个新关系式，而Cheon的结果可视为该关系式的特款．中图分类号O157.1关键词高阶Bernoulli多项式；高阶Euler多项式；递推公式；矩阵表示一、引言众所周知，阶Bernoulli多项式，记为，定义

2、为．阶Euler多项式，记为，定义为．当时多项式和，即是经典的Bernoulli多项式和经典的Euler多项式，分别简记为和，和在处的值、，分别称为阶Bernoulli数和阶Euler数，分别简记为和．自然地，和分别称为经典的Bernoulli数和经典的Euler数，分别简记为和．本文约定:，．高阶Bernoulli多项式和Euler多项式已得到广泛的研究，若干熟知结果可见文[1]—[6]．近来，文[7]和[8]又得到了关于经典Bernoulli多项式和经典Euler多项式的如下性质：(1)(2)-------并由此得到了关于这两类

3、多项式的一个新关系：(3)本文主要是将(1)、(2)两式推广到高阶情形，得到高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的新性质．然后得到类似于(3)式的高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的一个关系式．二、主要结果由高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的定义不难推导下述性质成立：(4)(5)（6）(7)(4)、(6)式推导如下．由阶Bernoulli多项式的定义，得(8)由(8)式，即得(4)式成立．另一方面，(9)由(9)式，可得(10)由(10)式立得(6)式．从(4)、(5)、(6)和(7)

4、四式，我们即得下述定理1：-------定理1(11)(12)下面我们给出(11)、(12)式的矩阵形式.令、和为型矩阵分别定义如下：，，．再令，和为型下三角矩阵，分别定义如下：矩阵则表示将矩阵中位于处元素全换为得到的矩阵.下列等式已在文[7]中得到证明：(13)另外，我们给出下述引理：引理2(14)证明仅需证明．设为正整数，且，则(15)-------(16)于是，由(15)、(16)两式即可推出：．这样，(11)、(12)两式可分别表为(17)(18)其中为阶单位矩阵.从(17)、(18)两式分别递推，可得(19)(20)注

5、意：．从(13)、(14)、(19)和(20)式，即可导出高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的一个新关系式（矩阵表达式）：(21)另一方面，设是矩阵的第行，则可算得，其中运算符的含义如下：．因此，由(21)式又可推出下述结果：定理3-------（22)定理3给出了高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式之间的一个新关系式（矩阵表达式）．如当时，从(22)式可计算得到：．Cheon的结果可视为该关系式的特款．三、结论Bernoulli多项式和Euler多项式是两类特殊函数，高阶Bernoulli多项式和高阶

6、Euler多项式分别是Bernoulli多项式和Euler多项式的推广，它们在解析数论、函数论、组合数学和理论物理学中有着深刻而广泛的应用．在本文，基于经典Bernoulli多项式和经典Euler多项式的一个关系性质，研究了高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的新性质．作为其应用，利用矩阵工具还推导出这两类多项式的一个新关系式，而Cheon的结果可视为该关系式的特款．未来的工作包括寻求定理3的其他应用．参考文献[1]L.Carltiz．Euleriannumbersandpolynomialsofhigherorder

7、[J],J.Duke.Math.，27,401-423(1960).[2]P.T.Young．CongruencesforBernoulli,Euler,andStirlingnumbers[J],J.NumberTheory，78,204-227(1999).[3]T.Kim．Someformulaefortheq-BernoulliandEulerpolynomialsofhigherorder[J],J.Math.Anal.Appl.273,236-242(2002).[4]雒秋明, 马韵新, 祁锋．高阶Bernoulli多项

8、式和高阶Euler多项式的关系[J],数学杂志,2005,(06).[5]L.Comtet．AdvancedCombinatorics[M],D.Reidel(1974).[6]K.H.Rosen．HandbookofDiscrete