一类食饵依赖型捕食-食饵系统的稳定性分析与最优捕获-论文.pdf

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1、第34卷湖北师范学院学报(自然科学版)VoL34第2期JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)No．2，2014一类食饵依赖型捕食一食饵系统的稳定性分析与最优捕获陈静，李必文，刘唯一，刘细宪，柯于胜(湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002)摘要：首先建立了一类食饵依赖型捕食一食饵生态经济模型，并对该模型的生物经济学涵义作了简要说明；接下来运用Routhchurwitz判据对系统平衡点的局部稳定性进行了详细分析，得到了该系统正平衡点的局部稳定性判据；最后通过动力学分析得到了食饵种群持久生存前提下的最大持续收获量，

2、同时探究了该前提下价格随供求变化的经济效益的最大值．关键词：捕食一食饵模型；食饵依赖；生态经济；价格随供求变化；局部稳定性；最优捕获中图分类号：O175．14文献标识码：A文章编号：1009—2714(2014)02—0035-05doi：10．3969／j．issn．1009—2714．2014．02．0090引言在人类有限度的捕获下，可再生资源一般具有一定的自我恢复能力．然而，由于一味地追求高产出高效益，人类在发展社会经济的过程中对可再生资源进行过度地开发利用，导致可再生资源日趋枯竭，破坏了赖以生存的生态环境，制约着社会、经济的发展．人类应该在持续稳产的大前提下适度开

3、发再生资源，以维持生物种群的长久持续生存为基础追求最高产量或最优的经济效益．本文着手研究了一类食饵具有Logistic增长率的价格随供求变化的捕食一食饵系统稳定性与最优捕获．我们的模型建立于文献[2]的捕食食饵系统，如下：fx=(o—kx—Y—)I多=)，(一r+)·其中，Y分别表示食饵和捕食者的密度，口，r，k都是正常数，E为捕捞努力量．为了更贴近实际，捕食者与食饵之间的相互作用可以用一个与食饵数量相关的功能函数来描述：f=(r一缸)一一Ex’f【Y‘=Y(一卢+)(2)1模型解释对于系统(2)，令收稿日期：2O13—12-15‘作者简介：陈静(1987一)，女，湖jB

4、黄冈人，硕士研究生，主要研究方向为微分方程与控制论·35·(，)=xF(，)=【(r一缸)_{一EJ(，)=YF2(IX，)=y【一卢+ax】则F(，X)、F2(，X)分别表示食饵种群、捕食者种群的增长率，从而我们可以得到以下结论：结论aFl1=一0，表明在任意￡时刻食饵种群数量的增大将促进捕食者增长率的增大．结论4等t，D=0，表明在任意￡时刻人类对食饵的捕获不直接影响捕食者种群的增长率．2平衡点的局部稳定性

5、易计算得系统(2)存在唯一的平衡点：=(，yo)=(，(1+。)(r-E-。))(3)从生物经济学角度出发，为使得食饵、捕食者、捕获强度都有意义，我们只考虑该系统的正平衡点，故而此处a一>O，r—E一0>O．系统(2)在正平衡点处的雅可比矩阵为垦kxo-E一一J(x0，yo)=(一)(r—kxo—E)O特祉万_裎：A+ol()A+02()=O(4)其中口，()：一+2kxo+E+竺-=二璺二掣．令叼：>0，则当a()>4a时，若口。()>。，~Er-+，则方

6、程(4)有两个正实根．当a()<4a时。5~aI(i．b)>。，~pEr-+翥，则方程(4)的两个复特征值都有正实部．从而可得出如下定理．、定理(平衡点的局部稳定性)i)当捕捞强度E满足：(⋯2kxo+E+等)。>壁1)若(r一。+，则是局部渐近稳定的结点；2)若E=r-。+rlXo-~，则是不稳定的鞍点；3)若E>r-。+，则是不稳定的结点．(-r+2kxo+E+等)<堕4)若E

7、渐近稳定的焦点；5)若E=r-。+，则是稳定的中心；‘·6)若E>r-。+，则是不稳定的辱点．3最优捕获问题3．1持绥严量首先我们来关注上述定理的生物经济学解释：i)当捕捞强度E<卜-。+时，解渐近地趋于(稳定态)，这说明：适度捕捞的情况下，鱼饵种群捕捞不完，即食饵种群能自行调节到持续生产水平．ii)随着捕捞强度的加大，特别是当>r一．+时，系统由稳定态转变为不稳定态，说明：过度捕捞将导致食饵种群逐日减产并最终趋向灭亡．因此，为保证种群持续生存，捕捞强度应满足≤r—。+rlXo-~，使得食饵种群达到持续生产水平，从而获得持续产