m阶马氏链关于广义随机选择系统的极限定理-论文.pdf

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1、第44卷第16期数学的实践与认识V01．44．NO．162014年8月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHE0RYAug．，2014In阶马氏链关于广义随机选择系统的极限定理宗德才，王康康z(1．常熟理工学院计算机科学与工程学院，江苏常熟215500)(2．江苏科技大学数理学院，江苏镇江212003)摘要：主要研究广义随机选择系统中的m阶非齐次马氏链随机转移概率调和平均的a．s．收敛的强极限定理．在证明中采用了一种把网微分法与条件矩母函数相结合应用于马氏链强极限定理研究的新途径．作为推论，

2、得到m阶非齐次马氏链随机条件概率一个公平比的强极限定理，并将已有的结果加以推广．关键词：m阶非齐次马氏链；调和平均；网微分法；条件矩母函数；广义随机选择系统马氏链的极限理论是马尔可夫过程研究的基本领域之一．众所周知，对齐次马氏链的极限定理已经有相当完善的结果．近几十年来，广大学者对非齐次马氏链的极限理论和遍历性展开了大量研究，取得了深入的结果．如刘文在文献[1]中讨论了可列非齐次马氏链相对频率的两个不等式．其又与刘国欣在文献f2]中讨论了可列非齐次马氏链泛函的一类强极限定理．刘文与杨卫国又研究了非齐次马氏

3、链的渐近均匀分割性及Shannon—Mcmillan定理[a-4]．其又于文献【5]中研究了非齐次马氏链随机转移概率的强极限定理．最近，王康康f。】也对非齐次马氏链随机和的强偏差定理作了一些研究．高阶马尔可夫链是一般马尔可夫链概念的自然推广，随着马氏链理论的不断发展和应用，人们对高阶马尔可夫链的理论和应用也越来越有兴趣，如信息论中关于Shannon—McMillan定理的研究便是其核心问题之一．而高阶马尔可夫链也是一类非常重要的信源，如语声，电视信号等往往都是高阶马尔可夫信源．因此，研究高阶马尔可夫链的强

4、极限理论具有非常广泛的理论和实际意义．汪忠志[】首先研究了二重非齐次马氏链泛函关于可预报序列的若干极限定理及AEF性质．王康康与李芳Is]讨论了m阶非齐次马氏链的一些Shannon—Mcmillan定理．其后，王康康[。]又对m阶非齐次马氏链的一类Shannon—Mcmillan随机偏差定理做了进一步讨论．本文主要研究m阶非齐次马氏链随机转移概率{pk(xk『一，⋯，～1)，mk佗关于广义随机选择系统的调和平均a．S．收敛的强极限定理，推广了文献f5]的主要结果．证明中采用了把网微分法与条件矩母函数相结合

5、应用于rn阶非齐次马氏链的强极限定理的一种较为新颖的研究方法．设{，札0)为定义在概率空间(Q，P)上并于S={1，2，⋯，Ⅳ)上取值的m阶非收稿日期：2Oll一0421资助项目：江苏省高校自然科学基金(09KJD110002)208数学的实践与认识44卷齐次马氏链，其m维初始分布和m阶转移概率分别为p0(t0，·一，im-1)=P(Xo=io，⋯，X一1=im-1)(1)Pn(jli~，·-·，im)=．P(=Jf一=il，···，一1=im)，凡2m(2)则有p(。，⋯Xn)=p。(z。，⋯，m一)H

6、：：P(XkI一，⋯，％一)(3)定义我们给出广义随机选择的概念，即对于一组定义在n=1，2，⋯)上并取值于【0，1】的非负实值函数列厶(zo，⋯，)．令Yo=y(y为任意实数)，+1=(0，⋯，)，n0；那么厶(0，⋯，X)称为选择函数，{，n0}称为广义赌博系统或广义随机选择系统(传统的随机选择系统取值于两点集{0，1))．1主要结果定理1设{，礼1)为具有in维初始分布(1)和m阶转移概率(2)的m阶非齐次马氏链．a，n0)为任意非负随机变量序列，S={1，2，⋯，Ⅳ)与{，n0)如上定义．令＆=m

7、in(pk(XklXk—m，⋯，Xk一1)，Xi∈S，k—mik)，km设80>1，令H(imsup(5)⋯南s=M<。。)则有1lim[p(凰一，一1)一一Ⅳ】-0．u∈D()(6)n⋯、证明我们考虑概率空间(Q，FJP)，设8>0为实数．记Mk(s，Xk—m，⋯，一1)=E[sY~p(Ixk-m，⋯，一1)一『Xk—m=～m，．一，Xk～1=zk—l1：∑‘-8YkP(z一1)-lpxrx一一，Xk-1)(、7)Mk(s，一，⋯，Xk一1)称为在条件Xk一=Xk一，⋯，Xk～1=Xk～1下，pk(Xk

8、IXo，⋯，Xk—1)的条件矩母函数．令m(8，一，⋯，一)=兰：!：二：二三羞三三三睾等宝三(8)x一)=p(⋯，~m-1)Ⅱmk(s，Xk⋯⋯，Xk一1)(9)由(7)，(8)和(9)，有∑x．．)=∑p(xo，∈Sn16期宗德才，等：m阶马氏链关于广义随机选择系统的极限定理209spn(∞nl⋯，一，zn一1)-lpxnIn—m，⋯，Xn-1)=(⋯，Xn-1)∑(s，X一，··zn∈S1一‰s(XO，⋯^(sl，X毫n