关于树指标二阶齐次马氏链的等价定义-论文.pdf

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1、第31卷第2期大学数学VoI．31，№．22015年4月CoLLEGEMATHEMATICSApr．2015关于树指标二阶齐次马氏链的等价定义季金莉，石志岩，杨卫国(江苏大学理学院，江苏镇江212013)[摘要]树指标随机过程是近年来概率论的研究方向之一，已引起了概率论、物理学、计算机等学科的广泛关注，国内外关于树指标随机过程的研究已经取得了一定的成果．树指标随机过程中的一类重要的模型就是树指标马氏链．Benjiamini和Peres首先给出了树指标马氏链的定义．杨卫国、陈晓雪和王豹给出了树指标一阶马氏链的等价定义．

2、杨卫国等又研究了树指标马氏链强极限定理．为了更有效的研究树指标随机过程，本文给出树指标二阶齐次马氏链的等价定义，并证明其等价性．[关键词]等价定义；树；马氏链；树指标随机过程[中图分类号]0211．6[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2015)02—0010—041引言文中以T。表示根点是O的任意局部有限无穷树，T一是一种双根树，这种树是由任意局部有限树T。的根点O与其他根点(记为一1)连接所成的，以Gayley树T，为例(见图1)．若，￡(口≠￡)是T一中任两个顶点，如果一个顶点t位于根一1到顶点d的

3、唯一路径上，则记为≤t，且记口≤t为同时满足^t≤和八￡≤且离根一1最远的顶点．若1tf—，则t位于树的第层，特别的一1位于树的第一1层．记T’表示树从根一1到第层所有顶点的子图，相应的记T表示树从根O到第层所有顶点的子图．L表示第n层所有顶点的集合，L表示含有T—的从m层到笆尽层所有顶点的集合．对于任意顶点t，从根一1到顶点t的路径上存笸，层在唯一一个离顶点t最近的顶点称为t的父代，记为1，且称t为1的子代，1。的父代记为2，称为t的祖父代，类似地记靠为t的第，z辈第1层父代·令第0层X一{X，t∈G)，GT一，媾

4、且。为x。的实现，且记IG1表示G中顶点个数．记X一{X，tET}在概率测度P下的分布为图1Gayley树T，形成的双根树P(r)一P(X：一r)．树指标随机过程是用来描述具有树的结构的数据模型，在生物学中有着很好的应用．生物学家研究杆状菌的分裂时，总结出杆状菌分裂的规律，即一个杆状菌在分裂时，从中间断开，这样分裂成两个新杆状菌，这两个新的杆状菌为原来的杆状菌的后代．如果我们把每一次分裂中的杆状菌看成一个顶点，那么所有杆状菌全体就是一个树指标随机过程口]．因此研究树指标随机过程的各种极限理论不仅有较高的理论意义，同时

5、也具有较好的实际应用价值．Benjiamini和Peresl_2首先给出了树指标马氏链的定义并研究了其常返性质和射线常返性质．Berger[3]等研究了齐次树图上平稳随机场熵率的存在性．杨卫国等_4研究了齐次树图上马氏链场状态发生频率，以及二阶有限非齐次马氏链的强大数定律．杨卫国[收稿日期]2014—11-2O[基金项目]国家自然科学基金资助课题(11071104，l122621O)；江苏大学高级人才启动基金(11JDG116)；江苏省教育厅统计应用研究基地；2014年江苏大学统计学校级重点学科第2期季金莉，等：关于

6、树指标二阶齐次马氏链的等价定义l1等研究了树指标马氏链的等价定义．石志岩等。研究了树上二阶非齐次马氏链随机转移概率调和平均的极限性质．本节我们主要给出树指标二阶齐次马氏链的定义，并研究树指标二阶齐次马氏链若干的等价定义．定义1设G一{1，2，⋯N}，且P(lz，Y)为G。上的非负函数．令P一(P(1，))，P(zIz，)≥0，‘∑P(zlz，)一1，，Y，z∈G，。E。——Gz则称P为二阶转移矩阵．定义2设T¨1为双根树，G==：{1，2，⋯N)为有限状态空间，且{x，∈T一)为定义在概率空间(n，F，P)上的G值随

7、机变量族．令P一(p(z，))，SC，Y∈G，(1)P一(P(lz，))，z，Y，∈G，(2)分别为G。上的概率分布和G。上的二阶转移矩阵．如果对于任何顶点t，P(X一￡lX1一zlf，Xz一2，X1一z￡1，Xr2一r2，⋯，X一)一P(X一zlX1一1，Xz一2)一P(xzlz1，zz)，(3)且P(X一1一1，Xo：o)一P(x一1，o)，V—l，0∈G，(4)则称{X，t∈T一}为具有初始分布(1)和转移矩阵(2)的树指标G值二阶齐次马氏链．2主要结果给出二阶树指标马氏链的等价定义．定理1设T一。为双根树，G

8、一{1，2，⋯N)为有限状态空间，且{X，t∈T一}为定义在概率空间(，F，P)上的G值随机变量族，则下列叙述是等价的：(i){X，t∈T}是如前定义的树指标二阶马氏链，(ii)VtET—l，VzT(n；∈G，p(XT~=z；)-P(x⋯Xo)ⅡP(x，)．(5)￡∈＼卜1){。>证(i)一(ii)：由(i)式及条件概率的乘法公式有p(XT~一