关于非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理-论文.pdf

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1、第31卷第3期大学数学Vo1．31，№．32015年6月COLLEGEMATHEMATICSJun．20l5关于非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理金少华，赵玉姝，闫会强，宛艳萍。(1．河北工业大学理学院，天津300401；2．河北工业大学经济管理学院，天津300401；3．河北工业大学计算机科学与软件学院，天津300401)[摘要]树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一．强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一．本文通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究

2、，研究给出了一类非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理．[关键词]非齐次树；鞅；马氏信源；强偏差定理[中图分类号]O177．91[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2015)03—0001—061前言树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一．强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一．Shi和YangⅢ研究给出了m根Cayley树指标m阶有限状态非齐次Markov链的一些极限性质．文献E2]研究给出了Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理．本文通过构造适当的非负鞅，

3、将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，研究给出了一类非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理．2定义设丁是一个具有根顶点0的无限树，{N，≥1)是一列正整数集，如果第(刀≥0)层上的每个顶点均与第+l层上的N个顶点相邻，则称丁为广义Bethe树或广义Cayley树．特别地，若对非负整数集N，用模m的同余关系对其分类得到模班的剩余类(O)一{o，m，2m，3m，⋯，劂，⋯)，(1)一{1，m+1，2m+l，3m+l，⋯，删+1，⋯}，(一1)一{m一1，2m～1，3m一1，⋯，(+1)m一1，⋯}，当∈(

4、)时，令N计1一a(口均为正整数且不同时为1)，i一0，1，2，⋯，m一1，就得到了一类特殊的非齐次树，⋯．以下恒以T表示树T．⋯，以L表示第(≥0)层上所有顶点的子图，T表示含有从O顶点到第层上所有顶点的子图．定义2．I设{，∈T)是定义在概率空间{力，F，P}上的取值于连续状态(，())的任意[收稿日期]2o15—03—30[基金项目]河北省高等学校科学技术研究重点项目(ZD2014051)2大学数学第31卷信源，其联合密度函数为f(xT．一xTn)一f(xr．)．(1)设{P(X0l1∈A)}，A∈口()(2

5、)是{X，∈T)的初始分布，并有正则条件概率族P(a，S(口)；X，A)一EliA(Xs())IX]，VX∈嗯，A∈B()．(3)若rP(a，s()；x，A)一l，(d，s()；x，xs())dXs()，(4)√A则称f(a，S()；X，Xs(，)为转移密度函数，记f(a，S()；X，Xs())一fs()(X，Xs())．(5)设fsc(X，Xsc)是{，∈T)的一列转移密度函数，初始分布对应的概率密度函数记为，则称{X，∈T}为具有初始分布(2)与正则条件概率族(3)的在上取值的连续状态树指标非齐次马氏信源．则{

6、X，∈T}的联合密度函数为f(XL)===foⅡⅡⅡ^(z，z)．(6)11∈L~,-1∈(1)设Q是(，F)上的另一概率测度，{X，∈T}在Q下的联合密度函数为g(XL)一g。ⅡⅡⅡg(，z)．(7)1l∈}1∈<钆1)定义2．2设联合密度函数f(XL)，g(XL)均如前定义，令一sup南，(8)称(cc，)为Q相对于P的样本散度．定义2．3设J：I为一实数，{h()}是定义在上的一函数列，称()一Et‘一jIe~k(X,et)(x一，x)dx(9)为函数h(X)的Laplace变换．3主要结果及其证明引理3．1

7、设{X，∈T}为定义在概率空间(0，F，P)上取值于连续状态(，(嗯))的任意信源，其联合密度函数由(1)式给出．f(XT)，g(XL)与h()均如前定义，(cc，)如(8)式定义．令立II117)ll1le-,Ihk(x~k’(x1，x)dx一—————————————一，(1O)则{t(，)，a(Xr)，≥1}在测度Q下为一非负鞅．证由(7)式，有g(X一一)一．(11)由(10)式，有t(．=I，∞)一￡，r1(．=I，)·I，(12)其中1-[II‘g·一0l∈L1∈⋯s(1’le’(x．，x)dX￡u第3

8、期金少华，等：关于非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理3I]E[JEILⅡⅡF坚韭口(X)1一l，rl“1Ie-,v％(x(x一l，x)dx。。Ⅱe)dX1∈L(14)Ⅱ县一c一1．1∈L由(14)式，有E[-t(，co)la(xT~I)]一一1(，)，所以{t(，∞)，a(XTn)，≥1)在测度Q下为一非负鞅．定理3．1设{，ET)为定义在概率空间